Allgemein
Der Erwartungswert einer Zufallsvariable $X$ ist $E[X]$. $E[X]$ ergibt sich als $E[X] = \sum_i p_i X_i$.
Die Varianz ist der Erwartungswert der quadrierten Abweichungen der Ausprägungen der Zufallsvariable vom Erwartungswert der Zufallsvariable.
$V[X] = E[(X – E(X))^2]$
$V[X] = E[X^2 – 2X E[X] + (E[X])^2]$
$V[X] = E[X^2] – E[2X E[X]] + E[(E[X])^2]$
$V[X] = E[X^2] – 2E[X]E[X] + E[(E[X])^2]$
$V[X] = E[X^2] – 2(E[X])^2 + (E[X])^2$
$V[X] = E[X^2] – (E[X])^2$
Bernoulli-Experiment
Bei einem Bernoulli-Experiment gibt es zwei mögliche Ereignisse. Entweder wird ein Kriterium mit der Wahrscheinlichkeit $p$ erfüllt (Treffer), dargestellt durch eine $1$, oder es wird mit der Gegenwahrscheinlichkeit $1-p$ verfehlt (Niete), dargestellt durch eine $0$.
Dann gilt für den Erwartungswert:
$E[X] = p$, denn $E[X] = p \cdot 1 + (1 – p) \cdot 0 = p$.
$X$ kann wie gesagt nur die Werte $0$ und $1$ annehmen. Es folgt für die Varianz:
$V[X] = E[X^2] – (E[X])^2 = E[X^2] – p^2$
$V[X] = p \cdot 1^2 + (1 – p) \cdot 0^2 – p^2$
$V[X] = p – p^2$
$V[X] = p(1 – p)$
Binomialverteilung
Ein Binomialexperiment besteht aus $n$ unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit $p$. Die Binomial-Zufallsvariable $X$ zählt die Anzahl der Erfolge in den $n$ Versuchen. $X$ ist also die Summe der Bernoulli-Variablen: $X = X_1 + X_2 + \dots + X_n$.
Dann gilt für den Erwartungswert:
$E[X] = E[X_1 + X_2 + \dots + X_n] = E[X_1] + E[X_2] + \dots + E[X_n] = np$
Es folgt für die Varianz:
$V[X] = E[X^2] – (E[X])^2 = E[X^2] – (np)^2$
$V[X] = E[(X_1 + X_2 + \dots + X_n)^2] – (np)^2$
$V[X] = E[X_1^2 + X_2^2 + \dots + X_n^2 + 2X_1X_2 + \dots + 2X_iX_j + \dots + 2X_{n-1}X_n] – (np)^2$
Für jedes $X_i$ gilt:
$E[X_i^2] = p \cdot 1^2 + (1 – p) \cdot 0^2 = p$
Die Anzahl der $X_i$ ist $n$.
Für jedes Kreuzpaar von $X_i$ und $X_j$ gilt:
$E[2X_i X_j] = 2E[X_i X_j] =$
$2(p \cdot 1 \cdot p \cdot 1 + p \cdot 1 \cdot (1-p) \cdot 0 + (1-p) \cdot 0 \cdot p \cdot 1 + (1-p) \cdot 0 \cdot (1-p) \cdot 0) = 2p^2$
Die Anzahl der Kreuzpaare von $X_i$ und $X_j$ ist $\binom{n}{2} = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{1\cdot2\cdot\dots\cdot(n-1)\cdot n}{1\cdot2\cdot1\cdot2\cdot\dots\cdot(n-3)\cdot(n-2)} = \frac{(n-1)n}{2}.$
Dann folgt:
$V[X] = E\left[X_1^2 + X_2^2 + \dots + X_n^2 + 2X_1X_2 + \dots + 2X_iX_j + \dots + 2X_{n-1}X_n\right] – (np)^2$
$V[X] = np + \dfrac{(n-1)n}{2} 2p^2 – (np)^2$
$V[X] = np + (n^2 – n)p^2 – (np)^2$
$V[X] = np + n^2p^2 – np^2 – (np)^2$
$V[X] = np + (np)^2 – np^2 – (np)^2$
$V[X] = np – np^2$
$V[X] = np(1 – p)$
Hier ist das Dokument als pdf-Datei.
Hier ist eine Excel-Datei (Makros aktivieren!) zum Arbeiten mit Binomialverteilungen. Sie arbeitet, da n bis 100 möglich ist, mit einem Wahrscheinlichkeitsdichtediagramm, obwohl die Binomialverteilung, vor allem für kleine n, ein Histogramm mit diskreten Werte nahelegt.