Diktion
Eine angenommen konstante Bevölkerung teilt sich in zwei Generationen auf: erwerbsfähige und erwerbstätige Junge sowie Alte bzw. Rentner. Von noch nicht erwerbsfähigen Jungen und Erwerbslosen wird abstrahiert. Beide zählen zu den Jungen und werden aus dem Einkommen der erwerbstätigen Jungen mitversorgt. Auch die Verteilung zwischen Lohnabhängigen und Beziehern von Kapitaleinkommen wird zunächst ausgeblendet.
Die Bevölkerung $B_{t}$ im Jahr $t$ teilt sich auf in Anzahl der Jungen $J_{t}$ und Anzahl der Alten $A_{t}$:
$$B_{t}=J_{t}+A_{t}$$
Die $J_{t}$ Jungen produzieren mit der Arbeitsproduktivität $e_{t}$ (effizientes Produkt pro Erwerbstätigen) das gesamte volkswirtschaftliche Einkommen $Y_{t}$.
$$Y_{t}=J_{t}\cdot e_{t}$$
Jeder der $A_{t}$ Rentner erhält eine Pro-Kopf-Rente $R_{t}$. Die Rentnerversorgung $V_{t}$ wird aus dem volkswirtschaftlichen Einkommen $Y_{t}$ erwirtschaftet und beträgt:
$$V_{t}=A_{t}\cdot R_{t}$$
Jeder der $J_{t}$ Jungen erhält den Pro-Kopf-Lohn $L_{t}$. Die Lohnsumme $S_{t}$ ergibt sich als Rest des volkswirtschaftlichen Einkommens $Y_{t}$ nach Abzug der Rentnerversorgung $V_{t}$. Anders formuliert: Das volkswirtschaftlichen Einkommen $Y_{t}$ unterteilt sich in Lohnsumme $S_{t}$ und Rentenversorgung $V_{t}$:
$$Y_{t}=S_{t}+V_{t}=\underbrace{J_{t}\cdot L_{t}}_{S_{t}}+\underbrace{A_{t}\cdot R_{t}}_{V_{t}}$$
Für das Rentenniveau sei angenommen, dass die Pro-Kopf-Rente $R_{t}$ einen konstanten Anteil $q$ am Pro-Kopf-Lohn $L_{t}$ betrage, wobei $q<1$.
$$R_{t}=q\cdot L_{t}$$
Dann folgt:
$$Y_{t}=\underbrace{J_{t}\cdot L_{t}}_{S_{t}}+\underbrace{A_{t}\cdot q\cdot L_{t}}_{V_{t}}$$
Und weiter:
$$Y_{t}=(J_{t}+A_{t}\cdot q)\cdot L_{t}\Longleftrightarrow L_{t}=\frac{Y_{t}}{J_{t}+A_{t}\cdot q}$$
Aus $B_{t}=J_{t}+A_{t}\Longleftrightarrow J_{t}=B_{t}-A_{t}$ folgt:
$$L_{t}=\frac{Y_{t}}{B_{t}-A_{t}+A_{t}\cdot q}=\frac{Y_{t}}{B_{t}-(1-q)\cdot A_{t}}$$
Fall 1: Steigende Arbeitsproduktivität, so dass Y gleichbleibt
Wir möchten nun wissen, wie sich der Pro-Kopf-Lohn $L_{t}$ bei steigender Anzahl der Alten $A_{t}$ verhält, und leiten deswegen unter der Annahme ab, dass $Y_{t}$ infolge steigender Arbeitsproduktivität $e_{t}$ konstant bleibt. Dann folgt nach der Quotientenregel:
$$\frac{dL_{t}}{dA_{t}}=\frac{\frac{dY_{t}}{dA_{t}}\cdot (B_{t}-(1-q)\cdot A_{t})-Y_{t}\cdot \frac{d(B_{t}-(1-q)\cdot A_{t})}{dA_{t}}}{(B_{t}-(1-q)\cdot A_{t})^{2}}$$
Sofern annahmegemäß $Y_{t}$ infolge steigender Arbeitsproduktivität $e_{t}$ konstant bleibt, verändert sich $Y_{t}$ nicht bei steigender Anzahl der Alten $A_{t}$. Mit $\frac{dY_{t}}{dA_{t}}=0$ folgt:
$$\frac{dL_{t}}{dA_{t}}=\frac{0\cdot (B_{t}-(1-q)\cdot A_{t})-Y_{t}\cdot (-(1-q))}{(B_{t}-(1-q)\cdot A_{t})^{2}}=\frac{Y_{t}\cdot (1-q)}{(B_{t}-(1-q)\cdot A_{t})^{2}}$$
Mit $q<1$ ist $1-q>0$. Zudem gilt $Y_{t}>0$ und $(B_{t}-(1-q)\cdot A_{t})^{2}>0$. Daher folgt:
$$\frac{dL_{t}}{dA_{t}}=\frac{Y_{t}\cdot (1-q)}{(B_{t}-(1-q)\cdot A_{t})^{2}}>0$$
Sofern annahmegemäß $Y_{t}$ infolge steigender Arbeitsproduktivität $e_{t}$ konstant bleibt, steigt also der Pro-Kopf-Lohn $L_{t}$ trotz steigender Anzahl der Alten $A_{t}$.
Fall 2: Konstante Arbeitsproduktivität, so dass Y sinkt
Nun setzen wir $Y_{t}=J_{t}\cdot e_{t}$ ein:
$$L_{t}=\frac{J_{t}\cdot e_{t}}{B_{t}-(1-q)\cdot A_{t}}$$
Aus $B_{t}=J_{t}+A_{t}\Longleftrightarrow J_{t}=B_{t}-A_{t}$ folgt:
$$L_{t}=\frac{(B_{t}-A_{t})\cdot e_{t}}{B_{t}-(1-q)\cdot A_{t}}$$
Wir möchten nun wissen, wie sich der Pro-Kopf-Lohn $L_{t}$ bei steigender Anzahl der Alten $A_{t}$ verhält, und leiten ab.
$$\frac{dL_{t}}{dA_{t}}=\frac{\frac{d((B_{t}-A_{t})\cdot e_{t})}{dA_{t}}\cdot (B_{t}-(1-q)\cdot A_{t})-(B_{t}-A_{t})\cdot e_{t}\cdot \frac{d(B_{t}-(1-q)\cdot A_{t})}{dA_{t}}}{(B_{t}-(1-q)\cdot A_{t})^{2}}$$
Es folgt:
$$\frac{dL_{t}}{dA_{t}}=\frac{[\frac{\partial ((B_{t}-A_{t})\cdot e_{t})}{\partial A_{t}}+\frac{\partial ((B_{t}-A_{t})\cdot e_{t})}{\partial e_{t}}\cdot \frac{de_{t}}{dA_{t}}]\cdot (B_{t}-(1-q)\cdot A_{t})-(B_{t}-A_{t})\cdot e_{t}\cdot \frac{d(B_{t}-(1-q)\cdot A_{t})}{dA_{t}}}{(B_{t}-(1-q)\cdot A_{t})^{2}}$$
Dann folgt:
$$\frac{dL_{t}}{dA_{t}}=\frac{[-e_{t}+(B_{t}-A_{t})\cdot \frac{de_{t}}{dA_{t}}]\cdot (B_{t}-(1-q)\cdot A_{t})-(B_{t}-A_{t})\cdot e_{t}\cdot (-(1-q))}{(B_{t}-(1-q)\cdot A_{t})^{2}}$$
Mit $\frac{de_{t}}{dA_{t}}=0$, also bei konstanter Arbeitsproduktivität $e_{t}$, folgt:
$$\frac{dL_{t}}{dA_{t}}=\frac{[-e_{t}+(B_{t}-A_{t})\cdot 0]\cdot (B_{t}-(1-q)\cdot A_{t})+(B_{t}-A_{t})\cdot e_{t}\cdot (1-q)}{(B_{t}-(1-q)\cdot A_{t})^{2}}$$
Und weiter:
$$\frac{dL_{t}}{dA_{t}}=\frac{-e_{t}\cdot (B_{t}-(1-q)\cdot A_{t})+(B_{t}-A_{t})\cdot e_{t}\cdot (1-q)}{(B_{t}-(1-q)\cdot A_{t})^{2}}$$
Wir multiplizieren aus:
$$\frac{dL_{t}}{dA_{t}}=\frac{-e_{t}\cdot B_{t}+e_{t}\cdot (1-q)\cdot A_{t}+B_{t}\cdot e_{t}\cdot (1-q)-A_{t}\cdot e_{t}\cdot (1-q)}{(B_{t}-(1-q)\cdot A_{t})^{2}}$$
Und weiter:
$$\frac{dL_{t}}{dA_{t}}=\frac{-e_{t}\cdot B_{t}+B_{t}\cdot e_{t}\cdot (1-q)}{(B_{t}-(1-q)\cdot A_{t})^{2}}=\frac{e_{t}\cdot B_{t}\cdot (-1+1-q)}{(B_{t}-(1-q)\cdot A_{t})^{2}}$$
Und daher:
$$\frac{dL_{t}}{dA_{t}}=\frac{-e_{t}\cdot B_{t}\cdot q}{(B_{t}-(1-q)\cdot A_{t})^{2}}<0$$
Sofern $Y_{t}$ infolge konstanter Arbeitsproduktivität $e_{t}$ sinkt, sinkt also der Pro-Kopf-Lohn $L_{t}$ bei steigender Anzahl der Alten $A_{t}$.
Fall 3: Variable Arbeitsproduktivität
$$\frac{dL_{t}}{dA_{t}}=\frac{[-e_{t}+(B_{t}-A_{t})\cdot \frac{de_{t}}{dA_{t}}]\cdot (B_{t}-(1-q)\cdot A_{t})-(B_{t}-A_{t})\cdot e_{t}\cdot (-(1-q))}{(B_{t}-(1-q)\cdot A_{t})^{2}}$$
Und weiter:
$$\frac{dL_{t}}{dA_{t}}=\frac{[-e_{t}+(B_{t}-A_{t})\cdot \frac{de_{t}}{dA_{t}}]\cdot (B_{t}-(1-q)\cdot A_{t})+(B_{t}-A_{t})\cdot e_{t}\cdot (1-q)}{(B_{t}-(1-q)\cdot A_{t})^{2}}$$
Und weiter:
$$\scriptsize \frac{dL_{t}}{dA_{t}}=\frac{-e_{t}\cdot B_{t}+(B_{t}-A_{t})\cdot\frac{de_{t}}{dA_{t}}\cdot B_{t}+e_{t}\cdot(1-q)\cdot A_{t}-(B_{t}-A_{t})\cdot\frac{de_{t}}{dA_{t}}\cdot(1-q)\cdot A_{t}+(B_{t}-A_{t})\cdot e_{t}\cdot(1-q)}{\left(B_{t}-(1-q)\cdot A_{t}\right)^{2}}$$
Und weiter:
$$\scriptsize \frac{dL_{t}}{dA_{t}}=\frac{-e_{t}\cdot B_{t}+e_{t}\cdot(1-q)\cdot A_{t}+(B_{t}-A_{t})\cdot\frac{de_{t}}{dA_{t}}\cdot B_{t}-(B_{t}-A_{t})\cdot\frac{de_{t}}{dA_{t}}\cdot(1-q)\cdot A_{t}+(B_{t}-A_{t})\cdot e_{t}\cdot(1-q)}{\left(B_{t}-(1-q)\cdot A_{t}\right)^{2}}$$
Und weiter:
$$\scriptsize \frac{dL_{t}}{dA_{t}}=\frac{-e_{t}\cdot B_{t}+e_{t}\cdot(1-q)\cdot A_{t}+(B_{t}-A_{t})\cdot\frac{de_{t}}{dA_{t}}\cdot\left(B_{t}-(1-q)\cdot A_{t}\right)+(B_{t}-A_{t})\cdot e_{t}\cdot(1-q)}{\left(B_{t}-(1-q)\cdot A_{t}\right)^{2}}$$
Und weiter:
$$\scriptsize \frac{dL_{t}}{dA_{t}}=\frac{-e_{t}\cdot B_{t}+e_{t}\cdot(1-q)\cdot A_{t}+(B_{t}-A_{t})\cdot\frac{de_{t}}{dA_{t}}\cdot\left(B_{t}-(1-q)\cdot A_{t}\right)+B_{t}\cdot e_{t}\cdot(1-q)-A_{t}\cdot e_{t}\cdot(1-q)}{\left(B_{t}-(1-q)\cdot A_{t}\right)^{2}}$$
Und weiter:
$$\frac{dL_{t}}{dA_{t}}=\frac{-e_{t}\cdot B_{t}+(B_{t}-A_{t})\cdot \frac{de_{t}}{dA_{t}}\cdot (B_{t}-(1-q)\cdot A_{t})+B_{t}\cdot e_{t}\cdot (1-q)}{(B_{t}-(1-q)\cdot A_{t})^{2}}$$
Und weiter:
$$\frac{dL_{t}}{dA_{t}}=\frac{-e_{t}\cdot B_{t}+(B_{t}-A_{t})\cdot \frac{de_{t}}{dA_{t}}\cdot (B_{t}-(1-q)\cdot A_{t})+B_{t}\cdot e_{t}-B_{t}\cdot e_{t}\cdot q}{(B_{t}-(1-q)\cdot A_{t})^{2}}$$
Und weiter:
$$\frac{dL_{t}}{dA_{t}}=\frac{(B_{t}-A_{t})\cdot \frac{de_{t}}{dA_{t}}\cdot (B_{t}-(1-q)\cdot A_{t})-B_{t}\cdot e_{t}\cdot q}{(B_{t}-(1-q)\cdot A_{t})^{2}}$$
Und weiter:
$$\frac{dL_{t}}{dA_{t}}=\frac{(B_{t}-A_{t})\cdot \frac{de_{t}}{dA_{t}}\cdot (B_{t}-(1-q)\cdot A_{t})}{(B_{t}-(1-q)\cdot A_{t})^{2}}-\frac{B_{t}\cdot e_{t}\cdot q}{(B_{t}-(1-q)\cdot A_{t})^{2}}$$
Und weiter:
$$\frac{dL_{t}}{dA_{t}}=\underbrace{\frac{B_{t}-A_{t}}{B_{t}-(1-q)\cdot A_{t}}\cdot\frac{de_{t}}{dA_{t}}}_{\text{Einfluss von Produktivitätswachstum}}-\underbrace{\frac{B_{t}\cdot e_{t}\cdot q}{\left(B_{t}-(1-q)\cdot A_{t}\right)^{2}}}_{\text{kein Einfluss von Produktivitätswachstum}}$$
Wann bleibt der Pro-Kopf-Lohn konstant?
Wir möchten nun wissen, wann der Pro-Kopf-Lohn $L_{t}$ bei steigender Anzahl der Alten $A_{t}$ konstant bleibt. Daher leiten wir ab und setzen gleich null:
$$\frac{dL_{t}}{dA_{t}}=\frac{(B_{t}-A_{t})\cdot\frac{de_{t}}{dA_{t}}\cdot\left(B_{t}-(1-q)\cdot A_{t}\right)-B_{t}\cdot e_{t}\cdot q}{\left(B_{t}-(1-q)\cdot A_{t}\right)^{2}}=0$$
Wenn der Pro-Kopf-Lohn konstant sein soll, muss der Zähler gleich null sein:
$$\frac{dL_{t}}{dA_{t}}=0\Longrightarrow(B_{t}-A_{t})\cdot\frac{de_{t}}{dA_{t}}\cdot\left(B_{t}-(1-q)\cdot A_{t}\right)-B_{t}\cdot e_{t}\cdot q=0$$
Und weiter:
$$(B_{t}-A_{t})\cdot (B_{t}-(1-q)\cdot A_{t})\cdot \frac{de_{t}}{dA_{t}}=B_{t}\cdot e_{t}\cdot q$$
Und weiter:
$$\frac{de_{t}}{dA_{t}}=\frac{B_{t}\cdot e_{t}\cdot q}{(B_{t}-A_{t})\cdot (B_{t}-(1-q)\cdot A_{t})}$$
Und weiter:
$$\frac{de_{t}}{dA_{t}}=\frac{B_{t}\cdot e_{t}\cdot q}{(B_{t}-A_{t})\cdot (B_{t}-A_{t}+q\cdot A_{t})}$$
Und weiter, da $J_{t}=B_{t}-A_{t}$:
$$\frac{de_{t}}{dA_{t}}=\frac{B_{t}\cdot e_{t}\cdot q}{J_{t}\cdot (J_{t}+q\cdot A_{t})}$$
Deutung
Wie lässt sich das alles deuten? Dafür gehen wir zu einer bekannten Gleichung:
$$L_{t}=\frac{Y_{t}}{B_{t}-A_{t}+A_{t}\cdot q}$$
Und weiter, da $J_{t}=B_{t}-A_{t}$ und $Y_{t}=J_{t}\cdot e_{t}$:
$$L_{t}=\frac{Y_{t}}{J_{t}+A_{t}\cdot q}=\frac{J_{t}\cdot e_{t}}{J_{t}+A_{t}\cdot q}=\frac{e_{t}}{1+\frac{A_{t}}{J_{t}}\cdot q}$$
Der Zähler ist die Arbeitsproduktivität. Der Nenner drückt das gesamte Erfordernis zur Versorgung aus, das auf einen Jungen entfällt. Denn ein Junger hat einerseits seinen eigenen Pro-Kopf-Lohn zu erwirtschaften. Dies zeigt die $1$ im Nenner. Andererseits muss ein Junger für jeden Alten pro Jungen, $\frac{A_{t}}{J_{t}}$, das $q$-fache des Pro-Kopf-Lohns erwirtschaften. Folglich bleibt $L_{t}$ nur konstant, wenn die Arbeitsproduktivität in Einklang mit der relativen Veränderung des Erfordernisses zur Gesamtversorgung wächst. Es gilt als Bedingung:
$$\frac{de_{t}}{dA_{t}}=\frac{B_{t}\cdot e_{t}\cdot q}{J_{t}\cdot (J_{t}+q\cdot A_{t})}$$
Aber wieso ist das so? Schauen wir uns nochmals die vorherige Gleichung an:
$$L_{t}=\frac{e_{t}}{1+\frac{A_{t}}{J_{t}}\cdot q}$$
Wir nennen nun zur Veranschaulichung den Nenner, der das Erfordernis zur Gesamtversorgung zum Ausdruck bringt, $N_{t}=1+\frac{A_{t}}{J_{t}}\cdot q$. Dann gilt:
$$L_{t}=\frac{e_{t}}{N_{t}}$$
Wir leiten nochmals nach $A_{t}$ ab, was wegen der Veranschaulichung nun leichter geht:
$$\frac{dL_{t}}{dA_{t}}=\frac{\frac{de_{t}}{dA_{t}}\cdot N_{t}-e_{t}\cdot \frac{dN_{t}}{dA_{t}}}{N_{t}^{2}}$$
Wenn der Pro-Kopf-Lohn konstant sein soll, muss der Zähler gleich null sein:
$$\frac{dL_{t}}{dA_{t}}=0\Longrightarrow \frac{de_{t}}{dA_{t}}\cdot N_{t}-e_{t}\cdot \frac{dN_{t}}{dA_{t}}=0$$
Dann folgt:
$$\frac{de_{t}}{dA_{t}}\cdot N_{t}=e_{t}\cdot \frac{dN_{t}}{dA_{t}}$$
Und weiter:
$$\frac{de_{t}}{dA_{t}}=e_{t}\cdot \frac{\frac{dN_{t}}{dA_{t}}}{N_{t}}$$
$\frac{dN_{t}}{dA_{t}}$ ist die absolute Veränderung des Erfordernisses zur Gesamtversorgung je zusätzlichem Alten. Sie wird durch das bisherige Gesamtversorgungserfordernis dividiert. $\frac{\frac{dN_{t}}{dA_{t}}}{N_{t}}$ ist also die relative Veränderung des Erfordernisses zur Gesamtversorgung je zusätzlichem Alten. Diese relative Veränderung des Erfordernisses zur Gesamtversorgung wird mit der bisherigen Arbeitsproduktivität multipliziert. Dadurch ergibt sich die absolute Produktivitätssteigerung je zusätzlichem Alten, die erforderlich ist, um den Pro-Kopf-Lohn konstant zu halten. Anders formuliert: Wenn der Pro-Kopf-Lohn konstant sein soll, muss die Steigerung der Arbeitsproduktivität je zusätzlichem Alten in Einklang mit der relativen Veränderung des Erfordernisses zur Gesamtversorgung erfolgen.
Es lohnt ein Blick auf die Bedeutung von $\frac{dN_{t}}{dA_{t}}$ als absoluter Veränderung des Erfordernisses zur Gesamtversorgung je zusätzlichem Alten. Es gilt $N_{t}=1+\frac{A_{t}}{B_{t}-A_{t}}\cdot q$. Dann folgt:
$$\frac{dN_{t}}{dA_{t}}=\frac{1\cdot (B_{t}-A_{t})-A_{t}\cdot (-1)}{(B_{t}-A_{t})^{2}}\cdot q=\frac{B_{t}}{(B_{t}-A_{t})^{2}}\cdot q$$
Wegen $J_{t}=B_{t}-A_{t}$ folgt:
$$\frac{dN_{t}}{dA_{t}}=\frac{B_{t}}{J_{t}^{2}}\cdot q$$
Die absolute Veränderung des Erfordernisses zur Gesamtversorgung je zusätzlichem Alten steigt um $\frac{B_{t}}{J_{t}^{2}}\cdot q$ Lohnäquivalente (Löhne und in Lohn gerechnete Renten). Das Quadrat im Nenner drückt aus, dass ein zusätzlicher Alter zwei Lasten bereitet. Einerseits sind mehr Alte zu versorgen, andererseits stehen weniger Junge zur Versorgung zur Verfügung.
Nun zeigen wir, dass die bisherige Gleichgewichtsbedingung stimmt, und arbeiten mit $N_{t}=1+\frac{A_{t}}{J_{t}}\cdot q$ sowie mit $\frac{dN_{t}}{dA_{t}}=\frac{B_{t}}{J_{t}^{2}}\cdot q$.
$$\frac{de_{t}}{dA_{t}}=e_{t}\cdot \frac{\frac{dN_{t}}{dA_{t}}}{N_{t}}\Longleftrightarrow \frac{de_{t}}{dA_{t}}=e_{t}\cdot \frac{\frac{B_{t}}{J_{t}^{2}}\cdot q}{1+\frac{A_{t}}{J_{t}}\cdot q}=e_{t}\cdot \frac{\frac{B_{t}}{J_{t}^{2}}\cdot q}{\frac{J_{t}}{J_{t}}+\frac{A_{t}}{J_{t}}\cdot q}$$
Dann folgt, was zu zeigen war:
$$\frac{de_{t}}{dA_{t}}=e_{t}\cdot \frac{\frac{B_{t}}{J_{t}^{2}}\cdot q}{\frac{J_{t}+A_{t}\cdot q}{J_{t}}}=e_{t}\cdot \frac{B_{t}}{J_{t}^{2}}\cdot q\cdot \frac{J_{t}}{J_{t}+A_{t}\cdot q}=\frac{B_{t}\cdot e_{t}\cdot q}{J_{t}\cdot (J_{t}+q\cdot A_{t})}$$
Verbales Fazit
Wir gehen aus von einer Bevölkerung, die im Ganzen konstant bleibt, innerhalb deren jedoch die Anzahl der Jungen sinkt und die Anzahl der Alten steigt. Ebenfalls gehen wir von einem konstanten Rentenniveau als Anteil der Pro-Kopf-Rente am Pro-Kopf-Lohn aus.
Fall 1: Steigt die Arbeitsproduktivität so stark, dass trotz sinkender Anzahl der Jungen das volkswirtschaftliche Einkommen gleichbleibt, steigt auch der Pro-Kopf-Lohn trotz zunehmender Anzahl der Alten.
Fall 2: Bleibt die Arbeitsproduktivität konstant, sinkt der Pro-Kopf-Lohn bei zunehmender Anzahl der Alten.
Fall 3: Bei variabler, beliebiger Arbeitsproduktivität bleibt der Pro-Kopf-Lohn trotz zunehmender Anzahl der Alten konstant, wenn die Steigerung der Arbeitsproduktivität je zusätzlichem Alten in Einklang mit der relativen Veränderung des Erfordernisses zur Gesamtversorgung erfolgt. Ein zusätzlicher Alter bereitet zwei Lasten. Es sind mehr Alte zu versorgen, und zudem stehen weniger Junge zur Versorgung zur Verfügung. Denn jeder Junge muss einerseits seinen eigenen Pro-Kopf-Lohn und andererseits für jeden Alten pro Jungen die Rente erwirtschaften. PS: Natürlich soll der Pro-Kopf-Lohn trotz zunehmender Anzahl der Alten gerne steigen, aber dann muss die Arbeitsproduktivität stärker steigen.
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