Eine Minierklärung zur Zinsparität

Ich wurde heute zufällig mehrmals anlässlich der erratischen Trumpolitics gefragt, wie inländischer und ausländischer Zinssatz sowie Wechselkurs zusammenhängen. Daher wird nachfolgend die Zinsparität erklärt, die immer gilt. Welche Größe sich anpassen wird, ist allerdings unsicher. Aber der Reihe nach …

Sagen wir, man hat einen Betrag von $x$ (in EUR). Diesen kann man am Jahresanfang zum Zinssatz $z_i$ ($i$ wie Inland) anlegen. Dann hat man am Ende des Jahres:

x \cdot (1 + z_i)

Man kann aber auch den Betrag am Jahresanfang zum Wechselkurs $w_0$ (Mengennotierung aus EU-Sicht: $\frac{USD}{EUR}$) in USD umtauschen, ihn danach dort zu $z_a$ ($a$ wie Ausland) anlegen und ihn am Ende des Jahres wieder in EUR umtauschen. Um den Wechselkurs fürs Ende des Jahres zu sichern, braucht man einen Terminkurs $\overline{w}_t$ (Mengennotierung aus EU-Sicht: $\frac{USD}{EUR}$), der zwar am Jahresanfang vereinbart wird, aber erst am Ende des Jahres wirksam ist. Dann hat man am Ende des Jahres:

\frac{x \cdot w_0 \cdot (1 + z_a)}{\overline{w}_t}

Da dies alle Marktteilnehmer wissen und wenn keine Transaktionskosten herrschen, müssen beide Anlagestrategien gleichgut sein, denn wäre es anders, würde jeder Marktteilnehmer Arbitragegeschäfte tätigen, bis die Gleichung gilt. Also gilt:

x \cdot (1 + z_i) = x \cdot (1 + z_a) \cdot \frac{w_0}{\overline{w}_t}

Nach beidseitiger Division durch $x$ erhält man:

(1 + z_i) = (1 + z_a) \cdot \frac{w_0}{\overline{w}_t}

Durch Umstellung erhalten wir:

\frac{\overline{w}_t}{w_0} = \frac{1 + z_a}{1 + z_i}

Wir subtrahieren auf beiden Seiten $1$:

\frac{\overline{w}_t}{w_0} - 1 = \frac{1 + z_a}{1 + z_i} - 1

Wir drücken das anders aus:

\frac{\overline{w}_t}{w_0} - \frac{w_0}{w_0} = \frac{1 + z_a}{1 + z_i} - \frac{1 + z_i}{1 + z_i}

Es folgt:

\frac{\overline{w}_t - w_0}{w_0} = \frac{1 + z_a - 1 - z_i}{1 + z_i}

Und weiter:

\frac{\overline{w}_t - w_0}{w_0} = \frac{z_a - z_i}{1 + z_i}

Division durch $(1 + z_i)$ ist approximativ dasselbe wie Division durch $1$. Dann folgt:

\frac{\overline{w}_t - w_0}{w_0} \approx z_a - z_i

Nach Umformung gilt:

z_i \approx z_a - \frac{\overline{w}_t - w_0}{w_0}

Nimmt man an, dass der Terminkurs $\overline{w}_t$ ein guter Schätzer für den künftigen Wechselkurs $w_t$ zum Ende des Jahres ist, gilt:

z_i \approx z_a - \frac{w_t - w_0}{w_0}

Kurzum: Der inländische Zinssatz $z_i$ ergibt sich, indem man die relative Aufwertung der eigenen Währung vom ausländischen Zinssatz subtrahiert.

Wenn also der ausländische Zinssatz $z_a$ sinkt, wird entweder bei konstantem Wechselkurs mit $\frac{w_t – w_0}{w_0} = 0$ auch der inländische Zinssatz $z_i$ sinken. Möglich ist aber auch, dass der inländische Zinssatz $z_i$ konstant bleibt, indem $\frac{w_t – w_0}{w_0}$ sinkt oder gar negativ wird, indem also der Euro weniger stark aufwertet oder gar abwertet. Möglich ist aber auch eine Kombination mehrerer Effekte, bis wieder Verzinsungsgleichheit der Anlagen gilt.

Das kann man sich auch durch Arbitrage erklären. Wenn $z_a$ zunächst ohne weitere Anpassung sinkt, ist es zunächst lohnenswert, in Europa das Geld anzulegen. Dann kaufen alle Anleger jetzt EUR und verkaufen später EUR auf Termin. Es gibt vier Effekte:

• Durch das zusätzliche Kapitalangebot in Europa sinkt tendenziell $z_i$.
• Durch das verringerte Kapitalangebot in den USA steigt tendenziell $z_a$.
• Weil alle Anleger jetzt EUR nachfragen, steigt $w_0$.
• Weil alle Anleger später EUR auf Termin anbieten, sinkt $\overline{w}_t$.

Dies geht so lange und so rasant schnell, dass sofort wieder gilt:

z_i \approx z_a - \frac{\overline{w}_t - w_0}{w_0}

Ob auch durch die Schätzerfunktion gilt, also der spätere Wechselkurs dem Terminkurs entspricht, ist indes gerade heute unklar. Man spricht von ungedeckter Parität:

z_i \approx z_a - \frac{w_t - w_0}{w_0}