Wenn wir uns fragen, wie sich die Ökonomie in Zukunft entwickeln wird, ist neben anderem Bedeutsamem eine wichtige Frage die nach dem Wachstum ihrer Bruttoinlandsprodukts.
Zur postkeynesianischen Ökonomie gehört das Harrod-Domar-Modell, das auf Roy F. Harrod und Evsey D. Domar zurückgeht. Die Kernaussage ist , dass in einer Welt, in der jede Produktionsmenge nur durch eine effiziente Kombination von Kapital und Arbeit hergestellt wird, ein gleichgewichtiges Wachstum instabil ist und auf Messers Schneide steht, siehe hier.
Die Begründer der neoklassischen Wachstumstheorie hingegen meinen, Wachstum könne aus sich heraus geschmeidiger und wenig krisenanfällig stattfinden. In die produktionstheoretischen Grundzüge der neoklassischen Wachstumstheorie soll hier kurz eingeführt werden. Die Befassung mit der eigentlichen Wachstumsfrage der neoklassischen Wachstumstheorie erfolgt später.
Grundzüge der neoklassischen Wachstumstheorie
Zwar gehen sie wie die Postkeynesianer Harrod und Domar von einer Ein-Gut-Welt aus, in der sich das gesamte reale volkswirtschaftliche Produkt $Y_r$ als Gütersumme darstellen lasse, die wie bei einem Trichter durch kombinierten Einsatz von Arbeit und Kapital entstehe. Beide eher gegensätzlichen Theorien teilen also diesen fragwürdigen Ansatz.
$Y_r = F(K,N) \qquad (0)$
Indes gehen die Vertreter der neoklassischen Wachstumstheorie davon aus, dass sich zumindest auf längere Sicht ein und dasselbe Produkt durch verschiedene Kombinationen von Arbeit und Kapital erstellen lasse. Ihre These ist demnach eine substitutionale Produktionsfunktion, während die Postkeynesianer wenigstens implizit durch ihr Postulat eines Zusammenhangs von Kapital $K$ und Produkt $Y$ davon ausgehen, Arbeit und Kapital stünden in einem festen Einsatzverhältnis zueinander, mithin eine limitationale Produktionsfunktion unterstellen.
Obendrein gehen die Vertreter der neoklassischen Wachstumstheorie davon aus, dass wenn ein Faktor, etwa Kapital oder Arbeit, konstant gehalten werde, eine Ausdehnung des anderen Faktors zwar zu einer Erhöhung des Produkts führe, indes mit abnehmender Grenzproduktivität:
$\frac{\partial F}{\partial K} > 0, \frac{\partial F}{\partial N} > 0, \frac{\partial^2 F}{\partial K^2} < 0, \frac{\partial^2 F}{\partial N^2} < 0 \qquad (1)$
$K = K_0 + I,\qquad I = K – K_0 \qquad (2)$
Dabei wird $N$ als numerische Anzahl der Arbeit verrichtenden Arbeitskräfte und $K$ als reale Kapitalgröße aufgefasst. $P$ ist das Preisniveau aller Güter, auch von Kapital, $w$ der Nominallohn, $i$ der nominale Zinssatz. Eigentlich wäre ein Zeitindex $t$ nötig, da zu jeder Zeit i. d. R. wachsende Größen von $N$ und $K$ zum Einsatz kommen, aber aus Gründen der Vereinfachung wird hierauf an dieser Stelle verzichtet.
Das Unternehmen wählt $K$ und $N$, um den Gewinn
$\pi = P\,F(K,N) – i\,P\,K – w\,N \qquad (3)$
zu maximieren.
Gewinnmaximierung nach Kapital
Zur Gewinnmaximierung wird der Gewinn nach $K$ abgeleitet und gleich Null gesetzt:
$\frac{\partial \pi}{\partial K} = P\,\frac{\partial F}{\partial K} – P\,i = 0 \qquad (4)$
$P\,\frac{\partial F}{\partial K} = P\,i \qquad\Rightarrow\qquad \frac{\partial F}{\partial K} = i \qquad (5)$
Man bezeichnet $F_K := \frac{\partial F}{\partial K}$.
Damit gilt im Gewinnmaximum:
$P\,F_K = P\,i \qquad (6)$
$P\,F_K$ nennt man die Wertgrenzproduktivität des Kapitals.
Im Gewinnmaximum entspricht die Wertgrenzproduktivität des Kapitals dem Produkt aus Preisniveau und Zinssatz bzw. die Grenzproduktivität des Kapitals dem Nominalzinssatz.
Leitet man die Bedingung $\frac{\partial F}{\partial K} = i$ nach $i$ ab und hält dabei $N$ konstant, so ergibt sich:
$\frac{d}{di}!\left(\frac{\partial F}{\partial K}\right) = \frac{d}{di}(i) \Rightarrow \frac{\partial^2 F}{\partial K^2}\,\frac{dK}{di} = 1 \qquad (7)$
$\Rightarrow\quad \frac{dK}{di} = \frac{1}{\partial^2 F/\partial K^2} < 0,\quad\text{da}\quad \frac{\partial^2 F}{\partial K^2} < 0 \qquad (8)$
Aus $K = K_0 + I$ folgt bei konstantem $K_0$:
$\frac{\partial^2 F}{\partial K^2}\,\frac{dI}{di} = 1 \Rightarrow \frac{dI}{di} = \frac{1}{\partial^2 F/\partial K^2} < 0 \qquad (9)$
In der neoklassischen Reaktionsfunktion sinkt die Investition als Nachfrage nach realen Kapitalgütern mit steigendem Nominalzinssatz.
Gewinnmaximierung nach Arbeit
Zur Gewinnmaximierung wird der Gewinn nach $N$ abgeleitet und gleich Null gesetzt:
$\frac{\partial \pi}{\partial N} = P\,\frac{\partial F}{\partial N} – w = 0 \qquad (10)$
$P\,\frac{\partial F}{\partial N} = w \qquad\Rightarrow\qquad \frac{\partial F}{\partial N} = \frac{w}{P} \qquad (11)$
Man bezeichnet $F_N := \frac{\partial F}{\partial N}$.
Damit gilt im Gewinnmaximum:
$P\,F_N = w \qquad (12)$
$P\,F_N$ nennt man die Wertgrenzproduktivität der Arbeit.
Im Gewinnmaximum entspricht die Wertgrenzproduktivität der Arbeit dem Nominallohn bzw. die Grenzproduktivität der Arbeit dem Reallohn.
Leitet man die Bedingung $\frac{\partial F}{\partial N} = \frac{w}{P}$ nach $w/P$ ab und hält dabei $K$ konstant, so ergibt sich:
$\frac{d}{d(w/P)}!\left(\frac{\partial F}{\partial N}\right) = \frac{d}{d(w/P)}!\left(\frac{w}{P}\right) \Rightarrow \frac{\partial^2 F}{\partial N^2}\,\frac{dN}{d(w/P)} = 1 \qquad (13)$
$\Rightarrow\quad \frac{dN}{d(w/P)} = \frac{1}{\partial^2 F/\partial N^2} < 0,\quad\text{da}\quad \frac{\partial^2 F}{\partial N^2} <0 \qquad (14)$
In der neoklassischen Reaktionsfunktion sinkt die Arbeitsnachfrage mit steigendem Reallohn.
Skalierung
$F(\lambda K,\lambda N) = \lambda^h F(K,N) \qquad (15)$
Es wird $h$ als Homogenitätsgrad bezeichnet: Eine Vervielfachung der Inputmengen um $\lambda$ sorgt für eine Vervielfachung der Produktmenge um $\lambda^h$. Wir logarithmieren beide Seiten (für einen Ansatz ohne Logarithmierung siehe hier).
$\ln F(\lambda K,\lambda N) = \ln(\lambda^h F(K,N)) = \ln(\lambda^h) + \ln F(K,N) \Longleftrightarrow$
$\ln F(\lambda K,\lambda N) = h \ln \lambda + \ln F(K,N) \qquad (16)$
Um zu erfahren, wie sich im Laufe der Zeit das Produkt bei Skalierung entwickelt, leiten wir $(16)$ nach $\ln \lambda$ ab. Auf der linken Seite von $(16)$ folgt dann:
$\dfrac{d(\ln F(\lambda K,\lambda N))}{d\ln \lambda} = \dfrac{\partial \ln F}{\partial \ln(\lambda K)} \cdot \dfrac{d\ln(\lambda K)}{d\ln \lambda} + \dfrac{\partial \ln F}{\partial \ln(\lambda N)} \cdot \dfrac{d\ln(\lambda N)}{d\ln \lambda} \qquad (17.1)$
Nun gilt:
$\dfrac{d\ln(\lambda K)}{d\ln \lambda} =\dfrac{d(\ln \lambda + \ln K)}{d\ln \lambda} = \dfrac{d\ln \lambda}{d\ln \lambda} + \dfrac{d\ln K}{d\ln \lambda} = 1 + 0 = 1 \qquad (17.2)$
Bzw.:
$\dfrac{d\ln(\lambda N)}{d\ln \lambda} =\dfrac{d(\ln \lambda + \ln N)}{d\ln \lambda} = \dfrac{d\ln \lambda}{d\ln \lambda} + \dfrac{d\ln N}{d\ln \lambda} = 1 + 0 = 1 \qquad (17.3)$
Wie machen uns $(17.2)$ und $(17.3)$ zunutze. Aus:
$\dfrac{d(\ln F(\lambda K,\lambda N))}{d\ln \lambda} = \dfrac{\partial \ln F}{\partial \ln(\lambda K)} \cdot \dfrac{d\ln(\lambda K)}{d\ln \lambda} + \dfrac{\partial \ln F}{\partial \ln(\lambda N)} \cdot \dfrac{d\ln(\lambda N)}{d\ln \lambda} \qquad (17.1)$
wird:
$\dfrac{d(\ln F(\lambda K,\lambda N))}{d\ln \lambda} = \dfrac{\partial \ln F}{\partial \ln(\lambda K)} \cdot 1 + \dfrac{\partial \ln F}{\partial \ln(\lambda N)} \cdot 1\Longleftrightarrow$
$\dfrac{d(\ln F(\lambda K,\lambda N))}{d\ln \lambda} = \dfrac{\partial \ln F}{\partial \ln(\lambda K)} + \dfrac{\partial \ln F}{\partial \ln(\lambda N)} \qquad (17.4)$
Es verändert sich $\ln F$ mit $\ln \lambda K$ bzw. $\ln \lambda N$ genauso wie mit $\ln K$ bzw. $\ln N$.
Aus $\dfrac{\partial \ln F}{\partial \ln(\lambda K)} = \dfrac{\partial \ln F}{\partial \ln K}$ und $\dfrac{\partial \ln F}{\partial \ln(\lambda N)} = \dfrac{\partial \ln F}{\partial \ln N}$ folgt daher:
$\dfrac{d(\ln F(\lambda K,\lambda N))}{d\ln \lambda} = \dfrac{\partial \ln F}{\partial \ln K} + \dfrac{\partial \ln F}{\partial \ln N} \qquad (17.5)$
Wir gehen wieder zu $(16)$:
$\ln F(\lambda K,\lambda N) = h \ln \lambda + \ln F(K,N) \qquad (16)$
Wir leiten auch die rechte Seite von $(16)$ nach $\ln \lambda$ ab.
$\dfrac{d(h \ln \lambda + \ln F(K,N))}{d\ln \lambda} = \dfrac{d(h \ln \lambda)}{d\ln \lambda} + \dfrac{d(\ln F(K,N))}{d\ln \lambda} \qquad (18.1)$
Bzw.
$\dfrac{d(h \ln \lambda + \ln F(K,N))}{d\ln \lambda} = h \dfrac{d(\ln \lambda)}{d\ln \lambda} + \dfrac{d(\ln F(K,N))}{d\ln \lambda} = h + 0 = h \qquad (18.2)$
Wir setzen $(17.5)$ als Ableitung der linken und $(18.2)$ als jene der rechten Seite von $(16)$ gleich:
$\dfrac{\partial \ln F}{\partial \ln K} + \dfrac{\partial \ln F}{\partial \ln N} = h \qquad (19)$
Wir „erweitern“ mit $dK$ bzw. $dN$. Dann folgt:
$\dfrac{\partial \ln F}{\partial \ln K} + \dfrac{\partial \ln F}{\partial \ln N} = h \Longleftrightarrow \dfrac{\dfrac{\partial \ln F}{\partial K}}{\dfrac{\partial \ln K}{\partial K}} + \dfrac{\dfrac{\partial \ln F}{\partial N}}{\dfrac{\partial \ln N}{\partial N}} = h \qquad (20)$
Und weiter:
$\dfrac{\dfrac{\partial \ln F}{\partial F} \cdot \dfrac{dF}{dK}}{\dfrac{\partial \ln K}{\partial K}} + \dfrac{\dfrac{\partial \ln F}{\partial F} \cdot \dfrac{dF}{dN}}{\dfrac{\partial \ln N}{\partial N}} = h \qquad (21)$
Es folgt:
$ \dfrac{\dfrac{1}{F} \cdot \dfrac{dF}{dK}}{\dfrac{1}{K}} + \dfrac{\dfrac{1}{F} \cdot \dfrac{dF}{dN}}{\dfrac{1}{N}} = h \qquad (22)$
Es gibt mit $(23)$ und $(24)$ zwei verschiedene Möglichkeiten, $(22)$ umgeformt darzustellen.
$F_K \cdot \dfrac{K}{F} + F_N \cdot \dfrac{N}{F} = h \qquad (23)$
$\dfrac{\dfrac{dF}{F}}{\dfrac{dK}{K}} + \dfrac{\dfrac{dF}{F}}{\dfrac{dN}{N}} = h \qquad (24)$
Das ist das Euler-Theorem für homogene Funktionen:
- $(23)$ besagt, dass der Homogenitätsgrad $h$ sich als Summe der mit ihren Grenzproduktivitäten gewichteten Faktorkoeffizienten errechnet.
- $(24)$ besagt, dass der Homogenitätsgrad $h$ sich als Summe der Faktorelastizitäten der Produktion errechnet.
Wenn wir beide Seiten von $(23)$ mit $F$ multiplizieren, folgt:
$F_K \cdot K + F_N \cdot N = h \cdot F \qquad (25)$
Der mit dem Homogenitätsgrad gewichtete Output ergibt sich also als Summe der mit ihren Grenzproduktivitäten gewichteten Faktormengen.
Im Spezialfall konstanter Skalenerträge ($h = 1$) ergibt sich:
$F = F_K K + F_N N \qquad (26)$
Wir multiplizieren beide Seiten mit $P$:
$PF = PF_K K + PF_N N \qquad (27)$
Adding-up-Theorem laut Euler
Das ist das adding-up-Theorem im Zuge von Euler: Bei substitutionalen Produktionsfunktionen, die sinkende Grenzerträge der Faktoren aufweisen, linear-homogen sind und konstante Skalenerträge erbringen, ergibt sich der bewertete Output genau als Summe der mit ihren Wertgrenzproduktivitäten gewichteten Faktormengen.
Wir setzen $(6)$ und $(11)$ in $(27)$ ein:
$PF = P\,i K + w\,N \qquad (28)$
Bzw.:
$PF = i\,P K + w\,N \qquad (29)$
Werden die Faktoren mit ihren Wertgrenzproduktivitäten entlohnt, verbleibt kein Gewinn, da das bewertete Produkt $PF$ sich gänzlich auf Zinsen $i\,P K$ und Löhne $w\,N$ aufteilt. Allerdings sollte die fragwürdige Annahme beachtet werden, dass weder Zinsen $i\,P K$ als Vergütung des auf vergangene Arbeit zurückgehenden Faktors Kapital noch die Vergütung der Kapitaleigner in Form von Unternehmerlohn als Teil der Löhne $w\,N$ als Gewinn aufgefasst werden.
Auch ist kritisch zu erwähnen, dass all die Annahmen: Ein-Gut-Welt, Trichterökonomie, Substitutionalität der Faktoren, sinkende Grenzerträge, Entlohnung der Faktoren nach Wertgrenzproduktivität, sinkende Arbeitsnachfrage bei steigendem Reallohn, sinkende Investitionsnachfrage bei steigendem Nominalzinssatz unabhängig von Renditeerwartungen, lineare Homogenität und flexible Preise, in Frage zu stellen sind.
Literatur
Solow, Robert Merton: A Contribution to the Theory of Economic Growth, in: The Quarterly Journal of Economics, Vol. 70, No. 1, Februar 1956, S. 65-94, im Netz hier zu finden.
