1 Leverage-Effekt
Es gilt:
$ \small EKR = GKR + (GKR – FKZS) \cdot \frac{FK}{EK} $
Bzw.:
$ \small EKR = GKR + (GKR – FKZS) \cdot GdV $
Sofern die Gesamtkapitalrentabilität $ \small GKR$ größer als der Fremdkapitalzinssatz $ \small FKZS$ ist, steigt die Eigenkapitalrentabilität $ \small EKR$ mit steigendem Grad der Verschuldung $ \small GdV$. Denn mit jeder Ausdehnung des $ \small GdV$ wird die Differenz aus $ \small GKR$ und $ \small FKZS$ um den Faktor des $ \small GdV$ gleichsam auf die Gesamtkapitalrentabilität als Ausgangsgröße aufgesattelt.
2 Zwei Wirkungen einer komplett eigenfinanzierten Investition
Nun leuchtet aus benannter Formel unmittelbar ein, dass bei einer komplett eigenfinanzierten Investition der $ \small GdV$ durch das steigende Eigenkapital sinkt und somit die $ \small EKR$ ceteris paribus (c.p.) fällt. Die mit steigendem $ \small GdV$ c.p. fallende $ \small EKR$ ist die erste Wirkung.
Indes wird investiert, um die $ \small GKR$ als finanzstrukturunabhängige Verwertungsfähigkeit zu steigern, so dass die $ \small EKR$ steigt: wegen höherem $ \small GKR$-Ausgangswert und steigender Differenz aus $ \small GKR$ und $ \small FKZS$. Die mit steigender $ \small GKR$ c.p. steigende $ \small EKR$ ist die zweite Wirkung.
Wir lassen nun die ceteris-paribus-Bedingung fallen und prüfen, welche der beiden Wirkungen bei Parallelität ihres Auftretens unter welcher Voraussetzung dominiert, so dass die $ \small EKR$ in Summe steigt. Wir arbeiten erst per Differentialrechnung und danach mit diskreten Größen.
3 Differentialrechnung
Wir leiten die Leverage-Effekt-Formel nach $ \small dEK = I$ ab.
$ \small \frac{dEKR}{dEK} = \frac{dGKR}{dEK} + \frac{d\left((GKR – FKZS)\cdot \frac{FK}{EK}\right)}{dEK} \Leftrightarrow $
$ \small \frac{dEKR}{dEK} = \frac{dGKR}{dEK} + \frac{d\left(GKR\cdot \frac{FK}{EK}\right)}{dEK} – \frac{d\left(FKZS\cdot \frac{FK}{EK}\right)}{dEK} \Leftrightarrow $
$ \small \frac{dEKR}{dEK} = \frac{dGKR}{dEK} + \left( \frac{dGKR}{dEK}\cdot \frac{FK}{EK} + GKR\cdot \frac{d\left(\frac{FK}{EK}\right)}{dEK} \right) – \left( \frac{dFKZS}{dEK}\cdot \frac{FK}{EK} + FKZS\cdot \frac{d\left(\frac{FK}{EK}\right)}{dEK} \right) \Leftrightarrow $
Aus $ \small \frac{dFKZS}{dEK} = 0 $ folgt:
$ \small \frac{dEKR}{dEK} = \frac{dGKR}{dEK} + \left( \frac{dGKR}{dEK}\cdot \frac{FK}{EK} + GKR\cdot \frac{d\left(\frac{FK}{EK}\right)}{dEK} \right) – \left( FKZS\cdot \frac{d\left(\frac{FK}{EK}\right)}{dEK} \right) \Leftrightarrow $
$ \small \frac{dEKR}{dEK} = \frac{dGKR}{dEK} + \frac{dGKR}{dEK}\cdot \frac{FK}{EK} + GKR\cdot \frac{d\left(\frac{FK}{EK}\right)}{dEK} – FKZS\cdot \frac{d\left(\frac{FK}{EK}\right)}{dEK} \Leftrightarrow $
$ \small \frac{dEKR}{dEK} = \frac{dGKR}{dEK} + \frac{dGKR}{dEK}\cdot \frac{FK}{EK} + GKR\cdot (-\frac{FK}{EK^2}) – FKZS\cdot (-\frac{FK}{EK^2}) \Leftrightarrow $
$ \small \frac{dEKR}{dEK} = \frac{dGKR}{dEK}\left(1 + \frac{FK}{EK}\right) – \frac{FK}{EK^2} \cdot (GKR – FKZS) \Leftrightarrow $
$ \small \frac{dEKR}{dEK} = \frac{dGKR}{dEK}\left(\frac{EK+FK}{EK}\right) – \frac{FK}{EK^2} \cdot (GKR – FKZS) \Leftrightarrow $
$ \small \frac{dEKR}{dEK} = \frac{dGKR}{dEK}\cdot \frac{GK}{EK} – \frac{FK}{EK^2} \cdot (GKR – FKZS) $
Wir prüfen, wann die Eigenkapitalrentabilität bei einer eigenfinanzierten Investition steigt.
$ \small \frac{dEKR}{dEK} > 0 $
$ \small \frac{dGKR}{dEK}\cdot \frac{GK}{EK} – \frac{FK}{EK^2} \cdot (GKR – FKZS) > 0 \Leftrightarrow $
$ \small \frac{dGKR}{dEK}\cdot \frac{GK}{EK} > \frac{FK}{EK^2} \cdot (GKR – FKZS) \Leftrightarrow $
$ \small \frac{dGKR}{dEK} > \frac{FK}{EK}\cdot \frac{1}{GK} \cdot (GKR – FKZS) \Leftrightarrow $
$ \small \frac{dGKR}{dEK} > GdV \cdot \frac{1}{GK} \cdot (GKR – FKZS) \Leftrightarrow $
$ \small \frac{dGKR}{dEK} > \frac{GdV}{GK} \cdot (GKR – FKZS) \Leftrightarrow $
$ \small dGKR > dEK \cdot \frac{GdV}{GK}(GKR – FKZS) $
Aus $ \small dEK = I $ folgt:
$ \small dGKR > I \cdot \frac{GdV}{GK}(GKR – FKZS) $
4 Diskrete Werte
Wir haben zwei zeitlich auseinanderfallende Zustände $ \small 0 $ und $ \small 1 $.
$ \small EKR_0 = GKR_0 + (GKR_0 – FKZS_0)\cdot \frac{FK_0}{EK_0} $
$ \small EKR_1 = GKR_1 + (GKR_1 – FKZS_1)\cdot \frac{FK_1}{EK_1} $
Nun gilt bei komplett eigenfinanzierter Investition wegen $ \small \Delta EK = I $ und $ \small \Delta FK = 0 $:
$ \small EK_1 = EK_0 + I $, $ \small FK_1 = FK_0 $ und $ \small GK_1 = GK_0 + I $ sowie $ \small FKZS_1 = FKZS_0 $.
Also:
$ \small EKR_0 = GKR_0 + (GKR_0 – FKZS_0)\cdot \frac{FK_0}{EK_0} $
$ \small EKR_1 = GKR_1 + (GKR_1 – FKZS_1)\cdot \frac{FK_0}{EK_0 + I} $
Wir bilden die Differenz aus $ \small EKR_1 $ und $ \small EKR_0 $, also $ \small \Delta EKR = EKR_1 – EKR_0 $:
$ \small \Delta EKR = (GKR_1 + (GKR_1 – FKZS_1)\cdot \frac{FK_0}{EK_0 + I}) – (GKR_0 + (GKR_0 – FKZS_0)\cdot \frac{FK_0}{EK_0}) $
$ \small \Delta EKR = GKR_1 – GKR_0 + (GKR_1 – FKZS_1)\cdot \frac{FK_0}{EK_0 + I} – (GKR_0 – FKZS_0)\cdot \frac{FK_0}{EK_0} \Leftrightarrow $
Aus $ \small FKZS_1 = FKZS_0 $ folgt:
$ \small \Delta EKR = GKR_1 – GKR_0 + (GKR_1 – FKZS_0)\cdot \frac{FK_0}{EK_0 + I} – (GKR_0 – FKZS_0)\cdot \frac{FK_0}{EK_0} $
$ \small \Delta EKR = GKR_1 – GKR_0 + GKR_1\cdot \frac{FK_0}{EK_0 + I} – FKZS_0\cdot \frac{FK_0}{EK_0 + I} – GKR_0\cdot \frac{FK_0}{EK_0} + FKZS_0\cdot \frac{FK_0}{EK_0} \Leftrightarrow $
$ \small \Delta EKR = GKR_1 – GKR_0 + FK_0 \cdot \frac{GKR_1}{EK_0 + I} – FK_0 \cdot \frac{FKZS_0}{EK_0 + I} – FK_0 \cdot \frac{GKR_0}{EK_0} + FK_0\cdot \frac{FKZS_0}{EK_0} \Leftrightarrow $
$ \small \Delta EKR = GKR_1 – GKR_0 + FK_0 \cdot \left( \frac{GKR_1}{EK_0 + I} – \frac{FKZS_0}{EK_0 + I} – \frac{GKR_0}{EK_0} + \frac{FKZS_0}{EK_0} \right) \Leftrightarrow $
$ \small \Delta EKR = GKR_1 – GKR_0 + FK_0 \cdot \left( \frac{GKR_1 – FKZS_0}{EK_0 + I} – \frac{GKR_0 – FKZS_0}{EK_0} \right) \Leftrightarrow $
$ \small \Delta EKR = GKR_1 – GKR_0 + FK_0\cdot \frac{(GKR_1 – FKZS_0)\cdot EK_0 – (GKR_0 – FKZS_0)\cdot (EK_0 + I)}{(EK_0 + I)\cdot EK_0} \Leftrightarrow $
$ \small \Delta EKR = GKR_1 – GKR_0 + FK_0\cdot \frac{GKR_1 \cdot EK_0 – FKZS_0 \cdot EK_0 – GKR_0 \cdot (EK_0 + I) + FKZS_0 \cdot (EK_0 + I)}{(EK_0 + I)\cdot EK_0} \Leftrightarrow $
$ \small \Delta EKR = GKR_1 – GKR_0 + FK_0\cdot \frac{GKR_1 \cdot EK_0 – FKZS_0 \cdot EK_0 – GKR_0 \cdot EK_0 – GKR_0 \cdot I + FKZS_0 \cdot EK_0 + FKZS_0 \cdot I}{(EK_0 + I)\cdot EK_0} \Leftrightarrow $
$ \small \Delta EKR = GKR_1 – GKR_0 + FK_0\cdot \frac{GKR_1 \cdot EK_0 – GKR_0 \cdot EK_0 – GKR_0 \cdot I + FKZS_0 \cdot I}{(EK_0 + I)\cdot EK_0} \Leftrightarrow $
$ \small \Delta EKR = GKR_1 – GKR_0 + \frac{FK_0}{EK_0}\cdot \frac{EK_0 \cdot (GKR_1 – GKR_0) – I \cdot (GKR_0 – FKZS_0)}{EK_0 + I} $
Wir bilden die Differenz aus $ \small GKR_1 $ und $ \small GKR_0 $, also $ \small \Delta GKR = GKR_1 – GKR_0 $:
$ \small \Delta EKR = \small \Delta GKR + \frac{FK_0}{EK_0}\cdot \frac{EK_0 \cdot \Delta GKR – I \cdot (GKR_0 – FKZS_0)}{EK_0 + I} $
Wir prüfen nun auch hier, wann $ \small \Delta EKR > 0 $ ist.
$ \small \Delta GKR + \frac{FK_0}{EK_0}\cdot \frac{EK_0 \cdot \Delta GKR – I \cdot (GKR_0 – FKZS_0)}{EK_0 + I} > 0 \Leftrightarrow $
$ \small \Delta GKR \cdot (EK_0 + I) + \frac{FK_0}{EK_0} \cdot [EK_0 \cdot \Delta GKR – I \cdot (GKR_0 – FKZS_0)] > 0 \Leftrightarrow $
$ \small \Delta GKR \cdot EK_0 + \Delta GKR \cdot I + FK_0 \cdot \Delta GKR – \frac{FK_0}{EK_0} \cdot I \cdot (GKR_0 – FKZS_0) > 0 \Leftrightarrow $
$ \small \Delta GKR \cdot (EK_0 + I + FK_0) – \frac{FK_0}{EK_0} \cdot I \cdot (GKR_0 – FKZS_0) > 0 $
Da $ \small EK_0 + I = EK_1 $, $ \small FK_0 = FK_1 $ und $ \small \frac{FK_0}{EK_0} = GdV_0 $, folgt:
$ \small \Delta GKR \cdot (EK_1 + FK_1) – GdV \cdot I \cdot (GKR_0 – FKZS_0) > 0 \Leftrightarrow $
$ \small \Delta GKR \cdot GK_1 – GdV_0 \cdot I \cdot (GKR_0 – FKZS_0) > 0 \Leftrightarrow $
$ \small \Delta GKR \cdot GK_1 > GdV_0 \cdot I \cdot (GKR_0 – FKZS_0) \Leftrightarrow $
$ \small \Delta GKR > I \cdot \frac{GdV_0}{GK_1} \cdot (GKR_0 – FKZS_0) $
5 Wie muss sich der Reingewinn verändern, damit die GKR steigt?
Es interessiert, wie sich der Reingewinn $ \small REG$ verändern muss, damit die $ \small GKR$ steigt. Es gilt:
$ \small GKR_0 = \frac{EBI_0}{GK_0} $
$ \small GKR_1 = \frac{EBI_0 + \Delta EBI}{GK_0 + \Delta GK} $
Damit die $ \small GKR$ steigt, muss gelten:
$ \small \frac{EBI_0 + \Delta EBI}{GK_0 + \Delta GK} > \frac{EBI_0}{GK_0} $
$ \small (EBI_0 + \Delta EBI)\cdot GK_0 > EBI_0\cdot (GK_0 + \Delta GK) \Leftrightarrow $
$ \small EBI_0 \cdot GK_0 + \Delta EBI \cdot GK_0 > EBI_0 \cdot GK_0 + EBI_0 \cdot \Delta GK \Leftrightarrow $
$ \small \Delta EBI \cdot GK_0 > EBI_0 \cdot \Delta GK \Leftrightarrow $
$ \small \Delta EBI > \frac{EBI_0}{GK_0}\cdot \Delta GK \Leftrightarrow $
$ \small \Delta EBI > GKR_0 \cdot \Delta GK $
Im Falle einer rein eigenfinanzierten Investition gilt $ \small \Delta GK = I $ und $ \small \Delta EBI = \Delta REG $, also:
$ \small \Delta REG > GKR_0\cdot I $
6 Wie muss sich der Reingewinn verändern, damit die EKR steigt?
Nun interessiert, wie sich der Reingewinn $ \small REG$ verändern muss, damit die $ \small EKR$ steigt. Es gilt:
$ \small EKR_0 = \frac{REG_0}{EK_0} $
$ \small EKR_1 = \frac{REG_0 + \Delta REG}{EK_0 + \Delta EK} $
Damit die $ \small EKR$ steigt, muss gelten:
$ \small \frac{REG_0 + \Delta REG}{EK_0 + \Delta EK} > \frac{REG_0}{EK_0} $
$ \small (REG_0 + \Delta REG) \cdot EK_0 > REG_0 \cdot (EK_0 + \Delta EK) \Leftrightarrow $
$ \small REG_0 \cdot EK_0 + \Delta REG \cdot EK_0 > REG_0 \cdot EK_0 + REG_0 \cdot \Delta EK \Leftrightarrow $
$ \small \Delta REG \cdot EK_0 > REG_0 \cdot \Delta EK\Leftrightarrow $
$ \small \Delta REG > \frac{REG_0}{EK_0}\cdot \Delta EK \Leftrightarrow $
$ \small \Delta REG > EKR_0\cdot \Delta EK $
Im Falle einer rein eigenfinanzierten Investition gilt $ \small \Delta EK = I $, also:
$ \small \Delta REG > EKR_0\cdot I $
7 Fazit
Ob nun $ \small dGKR > I \cdot \frac{GdV}{GK} \cdot (GKR – FKZS) $ oder $ \small \Delta GKR > I \cdot \frac{GdV_0}{GK_1} \cdot (GKR_0 – FKZS_0) $, es gilt:
Die Eigenkapitalrentabilität steigt bei einer komplett eigenfinanzierten Investition, wenn der absolute Anstieg der Gesamtkapitalrentabilität größer ist als das Produkt aus Investition, Grad der Verschuldung im Ausgangszeitpunkt und Differenz aus Gesamtkapitalrentabilität und Fremdkapitalzinssatz im Ausgangszeitpunkt, dividiert durch das Gesamtkapital im Folgezeitpunkt.
Ein hoher Investitionswert, ein hoher Grad der Verschuldung im Ausgangszeitpunkt und eine hohe Differenz aus Gesamtkapitalrentabilität und Fremdkapitalzinssatz im Ausgangszeitpunkt erschweren also die Steigerung der Eigenkapitalrentabilität bei einer komplett eigenfinanzierten Investition, wohingegen ein hohes Gesamtkapital (im Folgezeitpunkt) sie erleichtern.
Damit die komplett eigenfinanzierte Investition wenigstens die Gesamtkapitalrentabilität konstant hält, muss der Reingewinn größer sein als das Produkt aus Gesamtkapitalrentabilität im Ausgangszeitpunkt und Investitionshöhe: $ \small \Delta REG > GKR_0\cdot I $
Damit die komplett eigenfinanzierte Investition obendrein die Eigenkapitalrentabilität steigert, muss der Reingewinn größer sein als das Produkt aus Eigenkapitalrentabilität im Ausgangszeitpunkt und Investitionshöhe: $ \small \Delta REG > EKR_0\cdot I $
8 Numerisches Beispiel: die GKR bleibt konstant, die EKR sinkt
9 Numerisches Beispiel: die GKR steigt, die EKR bleibt konstant
10 Numerisches Beispiel: die GKR steigt, die EKR steigt
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Und hier befindet sich eine selbst erstellte Excel-Datei, mit der sich – anders als Artikel nicht nur bei kompletter Eigen-, sondern auch bei kompletter Fremdfinanzierung – die Effekte studieren lassen. Die Eingabefelder sind darin hellblau gehalten.
