Euler-Theorem ohne Logarithmierung

Das Euler-Theorem lässt sich auch ohne Logarithmierung herleiten.

Herleitung der Skalierungsresultate ohne Logarithmus

Gegeben sei eine Produktionsfunktion mit den Produktionsfaktoren Kapital K und Arbeit N:

$F = F(K,N) \qquad (1)$

Zur Untersuchung einer proportionalen Skalierung aller Produktionsfaktoren wird der Skalierungsparameter $\lambda > 0$ eingeführt und die folgende Funktion definiert:

$g(\lambda) = F(\lambda K,\lambda N) \qquad (2)$

Das totale Differential einer differenzierbaren Funktion $F(K,N)$ lautet:

$dF = F_K\,dK + F_N\,dN \qquad (3)$

Da die Argumente der Produktionsfunktion skaliert werden, lautet das totale Differential hier:

$dg = F_K(\lambda K,\lambda N)\,d(\lambda K) + F_N(\lambda K,\lambda N)\,d(\lambda N) \qquad (4)$

Hierfür sind die Differentiale von $\lambda$ K und $\lambda N$ zu bestimmen:

$d(\lambda K) = K\,d\lambda + \lambda\,dK \qquad (5)$

$d(\lambda N) = N\,d\lambda + \lambda\,dN \qquad (6)$

Es wird ausschließlich nach dem Skalierungsparameter $\lambda$ differenziert. Die Faktormengen $K$ und $N$ werden konstant gehalten und sind keine Funktionen von $\lambda$. Daher gilt:

$dK = 0,\ dN = 0 \qquad (7)$

Damit vereinfachen sich die Differentiale zu:

$d(\lambda K) = K\,d\lambda \qquad (8)$

$d(\lambda N) = N\,d\lambda \qquad (9)$

Setzt man $(8)$ und $(9)$ in das totale Differential $(4)$ ein, ergibt sich:

$dg = F_K(\lambda K,\lambda N)\,K\,d\lambda + F_N(\lambda K,\lambda N)\,N\,d\lambda \qquad (10)$

Division durch $d\lambda$ liefert die Ableitung von $g(\lambda)$ nach $\lambda$:

$\frac{dg}{d\lambda} = F_K(\lambda K,\lambda N)\,K + F_N(\lambda K,\lambda N)\,N \qquad (11)$

Es sei nun angenommen, dass die Produktionsfunktion homogen vom Grad $h$ ist. Dann gilt per Definition:

$F(\lambda K,\lambda N) = \lambda^h F(K,N) \qquad (12)$

Wir leiten beide Seiten nach $\lambda$ ab:

$\frac{d}{d\lambda}(F(\lambda K,\lambda N)) = \frac{d}{d\lambda}( \lambda^h F(K,N)) \qquad (13)$

Die Ableitung der linken Seite nach $\lambda$ ergibt wie gezeigt $(11)$. Es folgt:

$F_K(\lambda K,\lambda N)\,K + F_N(\lambda K,\lambda N)\,N = h\lambda^{h-1}F(K,N) \qquad (14)$

Es folgt das Euler-Theorem:

Das Euler-Theorem für jeden Homogenitätsgrad

Am Anfang des temporal¹ zu deutenden Skalierungsstrahls gilt: $\lambda = 1$.

$F_K(K,N)\,K + F_N(K,N)\,N = hF(K,N) \qquad (15)$

Für jeden Homogenitätsgrad $h$ lässt sich Folgendes sagen:

Am Anfang des Skalierungsstrahls ($\lambda = 1$) gilt ergibt sich der mit dem Homogenitätsgrad $h$ gewichtete Output als Summe der mit ihren anfänglichen Grenzproduktivitäten gewichteten Faktormengen.

Im Fortgang entlang des Skalierungsstrahls ($\lambda > 1$) ergibt sich der $h\lambda^{h-1}$-fache Wert des ursprünglichen Outputs $F(K,N)$ als Summe der Faktormengen, die mit den am jeweiligen Skalierungspunkt bestimmten Grenzproduktivitäten gewichtet werden.

Das Euler-Theorem für lineare Homogenität

Am Anfang des temporal zu deutenden Skalierungsstrahls gilt: $\lambda = 1$.

Zudem gilt nun $h = 1\Rightarrow\lambda^{h-1}=1\cdot\lambda^{1-1}=1$ und folglich:

$F_K(K,N)\,K + F_N(K,N)\,N = F(K,N) \qquad (16)$

Für h = 1, also konstante Skalenerträge bei linearer Homogenität, lässt sich Folgendes sagen:

Am Anfang des Skalierungsstrahls ($\lambda = 1$) ergibt sich der Output als Summe der mit ihren Grenzproduktivitäten gewichteten Faktormengen. Der Output wird total ausgeschöpft.

Auch im Fortgang entlang des Skalierungsstrahls ($\lambda > 1$) ergibt sich der Output als Summe der Faktormengen, die mit den am jeweiligen Skalierungspunkt bestimmten Grenzproduktivitäten gewichtet werden. Der Output wird auch im Fortgang total ausgeschöpft.

1. Die temporale Deutung ist eine Interpretationsebene, kein formaler Zeitindex im Modell. ↩︎