Kleine Einführung in die Theorie der Staatsschulden

Nachfolgender Text wurde erstmalig 2003 erstellt und Mitte 2009 wie folgt präzisiert.

A) Angenommenes Ziel: Konstante Schuldenquote q

0. Notation

$D$ : Schuldenstand (des Staates)

$Y$ : BIP

$t$ : Zeit

$dD$ : Veränderung des Schuldenstands

$dY$ : Veränderung des BIP

$dt$ : Veränderung der Zeit

$\frac{\mathrm{d} D}{\mathrm{d} t}=\dot{D}$ : Veränderung des Schuldenstands pro Zeiteinheit = Nettoneuverschuldung

$\frac{\partial Y}{\partial t}=\dot{Y}$ : Veränderung des BIP pro Zeiteinheit

$\hat{D}=\frac{\dot{D}}{D}$ : Wachstumsrate des Schuldenstands

$\hat{Y}=\frac{\dot{Y}}{Y}$ : Wachstumsrate des BIP

$E$ : Staatseinnahmen

$A$ : Staatsausgaben (ohne Tilgung und Zinszahlungen)

$P=E-A$ : Primärüberschuss

$T$ : Tilgung

$Z$ : Zinsen

$i$ : Zinssatz

$q=\frac{D}{Y}$ : Schuldenquote

$n=\frac{\dot{D}}{Y}$ : Nettoneuverschuldungsquote bzw. Defizitquote

1. Schuldenquote, BIP-Wachstumsrate und Defizitquote

Als gleichbleibende Finanzpolitik lässt sich eine Verschuldungspolitik beschreiben, bei der die Schuldenquote konstant bleibt. Dies ist nicht zwingend notwendig, denn die Schuldenquote kann innerhalb einer vernünftigen Politik auch vorübergehend steigen.

Denn selbst wenn sie steigt, tut sie das nicht schrankenlos. Die Annahme einer immer weiter steigenden Schuldenquote ist falsch – es handelt sich um einen Konvergenzprozess hin zu einer maximalen Schranke, bei dem die Schuldenquote gegen den Quotienten aus Neuverschuldungsquote und nominaler BIP-Wachstumsrate konvergiert, siehe hier.

Dennoch sei an dieser Stelle eine konstante Schuldenquote $q$ das Ziel. Hierzu leiten wir die Schuldenquote $q$ nach der Zeit ab und setzen die Ableitung $\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} t}=0$ .

$q\overset{!}{=}constant\Rightarrow$

$\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} \frac{D}{Y}}{\mathrm{d} t}=0\Leftrightarrow \frac{\frac{\mathrm{d} D}{\mathrm{d} t}\cdot Y-D\cdot \frac{\mathrm{d} Y}{\mathrm{d} t}}{Y^{2}}=0\Leftrightarrow$

$\frac{\frac{\mathrm{d} D}{\mathrm{d} t}}{Y}-\frac{D}{Y^{2}}\cdot \frac{\mathrm{d} Y}{\mathrm{d} t}=0\Leftrightarrow \frac{\dot{D}}{Y}-\frac{D}{Y^{2}}\cdot \dot{Y}=0\Leftrightarrow \frac{\dot{D}}{Y}-\frac{D}{Y}\cdot \frac{\dot{Y}}{Y}=0\Leftrightarrow$

$n-q\cdot \hat{Y}=0\Leftrightarrow n=\hat{Y}\cdot q$ (I)

Regel 1: Für eine konstante Schuldenquote $q$ muss die Defizitquote $n$ dem Produkt aus BIP-Wachstumsrate $\hat{Y}$ und Schuldenquote $q$ entsprechen.

2. Schulden- und BIP-Wachstumsrate

Es interessiert nun, wie sich Schulden- und BIP-Wachstumsrate zueinander verhalten müssen, damit Gleichung (I) erfüllt wird. Deshalb formen wir (I) um:

$n=\hat{Y}\cdot q\Leftrightarrow \frac{\dot{D}}{Y}=\hat{Y}\cdot \frac{D}{Y}\Leftrightarrow\frac{\dot{D}}{D}=\hat{Y}\Leftrightarrow \hat{D}=\hat{Y}$ (II)

Regel 2: Für eine konstante Schuldenquote $q$ muss die Wachstumsrate der Schulden $\hat{D}$ so hoch sein wie die Wachstumsrate des BIP $\hat{Y}$ .

3. Primärüberschuss bei Zinssatz, BIP-Wachstumsrate und Schuldenstand

Regel 2 hört sich trivial an, aber unklar ist, wann Schulden- und BIP-Wachstumsrate einander entsprechen. Die Nettoneuverschuldung teilt sich auf in Primärüberschuss und Zinsen. Mit dem Primärüberschuss $P$ bezeichnet man die Differenz zwischen staatlichen Einnahmen $E$ und Ausgaben $A$ (ohne Zinsen und Tilgung). Ist die Differenz positiv, liegt ein Primärüberschuss vor. Ist die Differenz negativ, spricht man von einem negativen Primärüberschuss oder einem Primärdefizit. Ist also $P<0$ , so sind im staatlichen Haushalt die Ausgaben ohne Zinsen und Tilgung größer als die Einnahmen. Ist $P>0$ , so sind die Einnahmen größer als die Ausgaben ohne Zinsen und Tilgung. Der andere Bestandteil des Schuldenzuwachses sind die Sollzinsen $Z$ auf die bereits bestehenden Schulden $D$ .

Nettoneuverschuldung $\dot{D}$ fällt an, wenn die Summe aus Primärüberschuss und Zinsen negativ ist. Sie liegt also nicht nur vor, wenn ein Primärdefizit durch Zinszahlungen verstärkt wird. Nettoneuverschuldung liegt auch vor, wenn zwar die Einnahmen höher sind als die Ausgaben, aber dieser Primärüberschuss kleiner ist als die Zinszahlungen.

Wir gehen nun auf den für eine konstante Schuldenquote notwendigen Primärüberschuss ein. Das Primärdefizit wird als negativer Primärüberschuss $-P$ ausgedrückt. Aus (II) folgt:

$\hat{D}=\hat{Y}\Leftrightarrow\frac{\dot{D}}{D}=\hat{Y}\Leftrightarrow \dot{D}=D\cdot \hat{Y}\Leftrightarrow -P+Z=D\cdot \hat{Y}\Leftrightarrow$

$-P+i\cdot D=D\cdot \hat{Y}\Leftrightarrow P=(i-\hat{Y})\cdot D$ (III)

Regel 3: Für eine konstante Schuldenquote $q$ muss der Primärüberschuss $P$ dem Produkt aus Differenz von Zinssatz und BIP-Wachstumsrate $(i-\hat{Y})$ sowie Schuldenstand $D$ gleichen.

Ist der Zinssatz auf Schuldtitel $i$ größer als das Wachstum des BIP $\hat{Y}$ , so gilt: $P>0$ . Im Haushalt müssen also Primärüberschüsse erzielt werden.
Ist der Zinssatz auf Schuldtitel $i$ so hoch wie Wachstum des BIP $\hat{Y}$ , so gilt: $P=0$ . Im Haushalt ist ein ausgeglichener Primärhaushalt zu erzielen.
Ist der Zinssatz auf Schuldtitel $i$ kleiner als das Wachstum des BIP $\hat{Y}$ , so gilt: $P<0$ . Im Haushalt ist es möglich, ein Primärdefizit zu erzielen.

4. Primärüberschuss bei Zinssatz, BIP-Wachstumsrate und Nettoneuverschuldung

Aus (III) folgt:

$P=(i-\hat{Y})\cdot D\Leftrightarrow D=\frac{P}{i-\hat{Y}}$ (IIIa)

Setzt man (IIIa) in (II) ein, ergibt sich:

$\hat{D}=\hat{Y}\Leftrightarrow\frac{\dot{D}}{D}=\hat{Y}\Leftrightarrow \dot{D}=\frac{P}{i-\hat{Y}}\cdot \hat{Y}\Leftrightarrow P=\frac{i-\hat{Y}}{\hat{Y}}\cdot \dot{D}$ (IV)

Regel 4: Für eine konstante Schuldenquote $q$ muss der Primärüberschuss $P$ dem Produkt aus einem Quotienten mit Zinssatz und BIP-Wachstumsrate $\frac{i-\hat{Y}}{\hat{Y}}$ sowie Nettoneuverschuldung $\dot{D}$ entsprechen.

B) Szenarien

Szenario 1: $i>\hat{Y}$ , der Staat erzielt einen Primärüberschuss

Die Ausgangsdaten seien wie folgt (alle absoluten Zahlen in Mrd. €):

$Y=2.000$

$D=1.200$

$\hat{Y}=4%$

$i=5%$

$A=600$

$T=10$

Damit die Schuldenquote konstant bleibt, muss gemäß (II) das Wachstum der Schulden jenem des BIP entsprechen, also $4%$ . Die Neuverschuldung beträgt daher $4%\cdot 1.200=48$ . Der Primärüberschuss muss gemäß (III) $P=(i-\hat{Y})\cdot D=(5%-4%)\cdot 1.200=12$ betragen. Da die Ausgaben des Staates sich auf $600$ belaufen, in denen die Tilgung von $10$ nicht enthalten ist, müssen die Einnahmen $600+12=612$ betragen. Die Neuverschuldung ist $48+10=58$ . Es folgt:

Budgetsaldo

Der Staat hat (vor allem durch Steuern) Einnahmen von $612$ und Ausgaben von $600$ . Dies ergibt einen Primärüberschuss von $12$ . Allerdings fallen zusätzlich noch Zinszahlungen an, die in den Ausgaben noch nicht enthalten waren. Die Zinsen betragen $5%\cdot 1.200=60$ und sorgen für einen Fehlbetrag von $12-60=-48$ . Daher muss der Staat Neuverschuldung betreiben und nimmt neue Schulden in Höhe von $58$ auf. Der sich hieraus ergebende Restbetrag von $58-48=10$ wird für Tilgung ausgegeben, so dass das Budget des Staats am Ende ausgeglichen ist.

Schuldenstand

Die Anfangsschuld von $1.200$ steigt durch die Neuverschuldung um $58$ auf $1.200+58=1.258$ . Von den $58$ zusätzlichen Einnahmen werden jedoch $10$ für Tilgung ausgegeben, so dass der Schuldenstand nur auf $1.258-10=1.248$ steigt. Der Schuldenstand steigt um $48$ , weil er durch die Zinsen um $60$ erhöht und durch den Primärüberschuss um $12$ reduziert wird.

Primärüberschuss und Nettoneuverschuldung

Mit $P=\frac{i-\hat{Y}}{\hat{Y}}\cdot \dot{D}=\frac{5%-4%}{4%}\cdot 48=12$ zeigt sich, dass Primärüberschuss und Nettoneuverschuldung durch den Zinssatz und die Wachstumsrate des BIP in einem Zusammenhang stehen.

Schuldenquote

Das BIP steigt von $2.000$ um $4%$ , d.h. um $2.000\cdot 4%=80$ auf $2.000+80=2.080$ .

Mit $q=\frac{D}{Y}=\frac{1.200}{2.000}=\frac{1.248}{2.080}=60%$ ist die Schuldenquote gleich geblieben.

Szenario 2: $i<\hat{Y}$ , der Staat erzielt ein Primärdefizit

Die Ausgangsdaten seien wie folgt (alle absoluten Zahlen in Mrd. €):

$Y=2.000$

$D=1.200$

$\hat{Y}=5%$

$i=4%$

$A=600$

$T=10$

Damit die Schuldenquote konstant bleibt, muss gemäß (II) das Wachstum der Schulden jenem des BIP entsprechen, also $5%$ . Die Neuverschuldung beträgt daher $5%\cdot 1.200=60$ . Der Primärüberschuss muss gemäß (III) $P=(i-\hat{Y})\cdot D=(4%-5%)\cdot 1.200=-12$ betragen, so dass es zu einem Primärdefizit kommt. Da die Ausgaben des Staates sich auf $600$ belaufen, in denen die Tilgung von $10$ nicht enthalten ist, müssen die Einnahmen $600-12=588$ betragen. Die Neuverschuldung ist $60+10=70$ . Es folgt:

Budgetsaldo

Der Staat hat (vor allem durch Steuern) Einnahmen von $588$ und Ausgaben von $600$ . Dies ergibt ein Primärdefizit, also einen negativen Primärüberschuss von $-12$ . Allerdings fallen zusätzlich noch Zinszahlungen an, die in den Ausgaben noch nicht enthalten waren. Die Zinsen betragen $4%\cdot 1.200=48$ und sorgen für einen Fehlbetrag von $-12-48=-60$ . Daher muss der Staat Neuverschuldung betreiben und nimmt neue Schulden in Höhe von $70$ auf. Der sich hieraus ergebende Restbetrag von $70-60=10$ wird für Tilgung ausgegeben, so dass das Budget des Staats am Ende ausgeglichen ist.

Schuldenstand

Die Anfangsschuld von $1.200$ steigt durch die Neuverschuldung um $70$ auf $1.200+70=1.270$ . Von den $70$ zusätzlichen Einnahmen werden jedoch $10$ für Tilgung ausgegeben, so dass der Schuldenstand nur auf $1.270-10=1.260$ steigt. Der Schuldenstand steigt um $60$ , weil er durch die Zinsen um $48$ und durch das Primärdefizit um $12$ erhöht wird.

Primärdefizit und Nettoneuverschuldung

Mit $P=\frac{i-\hat{Y}}{\hat{Y}}\cdot \dot{D}=\frac{4%-5%}{5%}\cdot 60=-12$ zeigt sich, dass Primärdefizit und Nettoneuverschuldung durch den Zinssatz und die Wachstumsrate des BIP in einem Zusammenhang stehen.

Schuldenquote

Das BIP steigt von $2.000$ um $5%$ , d.h. um $2.000\cdot 5%=100$ auf $2.000+100=2.100$ .

Mit $q=\frac{D}{Y}=\frac{1.200}{2.000}=\frac{1.260}{2.100}=60%$ ist die Schuldenquote gleich geblieben.

C) Fazit

Die oft beschriebene Alternativlosigkeit in der Wirtschaftspolitik ist falsch. Vielmehr ermöglicht $i<\hat{Y}$ sogar bei Primärdefiziten eine gleich bleibende Schuldenquote. Dies setzt jedoch eine Abkehr von der bisherigen Politik der EZB voraus. Anstelle hoher Zinssätze zur Inflationsvermeidung muss die Geldpolitik Zinssätze unterhalb des BIP-Wachstums setzen, so dass staatliche Spielräume eröffnet werden. Hinzu kommt etwas, was an dieser Stelle noch nicht erörtert wurde: Inwiefern kann eine Politik der Staatsverschuldung das BIP-Wachstum beeinflussen?

Bildquelle.

2 Kommentare

Henning sagt:

26. November 2023 um 19:30 Uhr

Eine klasse darstellung, lieber Alex. Gruß Henning

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1. Alexander Recht sagt:
  
  26. November 2023 um 19:32 Uhr
  
  Danke!!!
  
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Kleine Einführung in die Theorie der Staatsschulden

A) Angenommenes Ziel: Konstante Schuldenquote q

0. Notation

1. Schuldenquote, BIP-Wachstumsrate und Defizitquote

2. Schulden- und BIP-Wachstumsrate

3. Primärüberschuss bei Zinssatz, BIP-Wachstumsrate und Schuldenstand

4. Primärüberschuss bei Zinssatz, BIP-Wachstumsrate und Nettoneuverschuldung

B) Szenarien

Szenario 1: $i>\hat{Y}$ , der Staat erzielt einen Primärüberschuss

Szenario 2: $i<\hat{Y}$ , der Staat erzielt ein Primärdefizit

C) Fazit

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A) Angenommenes Ziel: Konstante Schuldenquote q

0. Notation

1. Schuldenquote, BIP-Wachstumsrate und Defizitquote

2. Schulden- und BIP-Wachstumsrate

3. Primärüberschuss bei Zinssatz, BIP-Wachstumsrate und Schuldenstand

4. Primärüberschuss bei Zinssatz, BIP-Wachstumsrate und Nettoneuverschuldung

B) Szenarien

Szenario 1: , der Staat erzielt einen Primärüberschuss

Szenario 2: , der Staat erzielt ein Primärdefizit

C) Fazit

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Szenario 1: $i>\hat{Y}$ , der Staat erzielt einen Primärüberschuss

Szenario 2: $i<\hat{Y}$ , der Staat erzielt ein Primärdefizit