1 Einleitung

Aufgabe dieses Textes ist es, den Luxuskonsum in den Reproduktionsschemata algebraisch und arithmetisch einzuordnen. Wesentliche Inspirationen hat dieser Artikel bezogen aus der Lektüre des exzellenten Artikels von Zinn, Karl Georg: Konsum und Krise bei Marx. Analyse der konsumtheoretischen Implikationen in den Reproduktions- und der Krisentheorie und die Sonderstellung des Luxus, in: Jahrbuch für Sozialwissenschaft, Bd. 21/1970, S. 302-326. Etwaige Fehler gehen selbstredend nur zu meinen Lasten.

Eine Ergänzung des Textes i) um die Berücksichtigung der erweiterten Reproduktion auch bei den Spezifikationen, ii) um die Erwägung nicht-uniformer Werte bei der organischen Zusammensetzung des Kapitals sowie iii) um die Einordnung der Möglichkeit, dass nicht die Mehrwertrate uniform ist, sondern die Profitrate, erfolgt womöglich später. Auch die Darstellung ökonomischer und politischer Implikationen als eigentlich zentralem Ansatzpunkt der Untersuchung erfolgt erst später, wird aber hier vorbereitet.

Wir unterscheiden

die Produktionsmittelabteilung I, die Produktionsmittel herstellt, also Arbeitsgegenstände wie Rohstoffe und Vorprodukte sowie Arbeitsmittel wie Maschinen;
die Basiskonsumgüterabteilung IIa, die notwendige Konsumgüter herstellt;
die Luxuskonsumgüterabteilung IIb, die nicht notwendige Luxuskonsumgüter herstellt.

2 Herleitung der allgemeinen Reproduktionsgleichungen

2.1 Produktionsmittelabteilung I

2.1.1 Angebot

Die Produktionsmittelabteilung I stellt als Angebot folgende Wertsumme $A_{I}$ her:

$A_{I}=c_{I}+v_{I}+m_{I}$

Der Mehrwert $m_{I}$ kann in der Produktionsmittelabteilung I verwendet werden

zur Akkumulation in Form zusätzlicher Produktionsmittel im Wert von $\Delta c_{I}$ ,
zur Akkumulation in Form zusätzlicher Arbeitskräfte im Wert von $\Delta v_{I}$ ,
für notwendigen Kapitalistenkonsum $n_{I}$ sowie
für nicht notwendigen, gleichsam unnötigen Kapitalistenluxuskonsum $u_{I}$ .

Es folgt:

$A_{I}=c_{I}+v_{I}+\Delta c_{I}+\Delta v_{I}+n_{I}+u_{I}$

2.1.2 Nachfrage

Wer braucht Produktionsmittel? Nachfrage $N_{I}$ hiernach erzeugt

die Produktionsmittelabteilung I für ihren Grundstock an Produktionsmitteln im Wert von $c_{I}$ und für Akkumulation in Form zusätzlicher Produktionsmittel im Wert von $\Delta c_{I}$ ;
die Basiskonsumgüterabteilung IIa für ihren Grundstock an Produktionsmitteln im Wert von $c_{IIa}$ und für Akkumulation in Form zusätzlicher Produktionsmittel im Wert von $\Delta c_{IIa}$ ;
die Luxuskonsumgüterabteilung IIb für ihren Grundstock an Produktionsmitteln im Wert von $c_{IIb}$ und für Akkumulation in Form zusätzlicher Produktionsmittel im Wert von $\Delta c_{IIb}$ .

$N_{I}=c_{I}+\Delta c_{I}+c_{IIa}+\Delta c_{IIa}+c_{IIb}+\Delta c_{IIb}$

2.1.3 Gleichgewicht: Angebot = Nachfrage

Im Gleichgewicht der Produktionsmittelabteilung I entsprechen Angebot und Nachfrage einander:

$A_{I}=N_{I}\Leftrightarrow$

$\underbrace{c_{I}+v_{I}+\Delta c_{I}+\Delta v_{I}+n_{I}+u_{I}}_A_{I}=\underbrace{c_{I}+\Delta c_{I}+c_{IIa}+\Delta c_{IIa}+c_{IIb}+\Delta c_{IIb}}_N_{I}$

Durch Wegstreichung ergibt sich die Reproduktionsgleichung der Produktionsmittelabteilung I:

$v_{I}+\Delta v_{I}+n_{I}+u_{I}=c_{IIa}+\Delta c_{IIa}+c_{IIb}+\Delta c_{IIb}$

2.2 Basiskonsumgüterabteilung IIa

2.2.1 Angebot

Die Basiskonsumgüterabteilung IIa, die notwendige Konsumgüter herstellt, stellt als Angebot folgende Wertsumme $A_{IIa}$ her:

$A_{IIa}=c_{IIa}+v_{IIa}+m_{IIa}$

Auch in der Basiskonsumgüterabteilung IIa kann der Mehrwert $m_{IIa}$ verwendet werden

zur Akkumulation in Form zusätzlicher Produktionsmittel im Wert von $\Delta c_{IIa}$ ,
zur Akkumulation in Form zusätzlicher Arbeitskräfte im Wert von $\Delta v_{IIa}$ ,
für notwendigen Kapitalistenkonsum $n_{IIa}$ sowie
für nicht notwendigen Kapitalistenluxuskonsum $u_{IIa}$ .

Es folgt:

$A_{IIa}=c_{IIa}+v_{IIa}+\Delta c_{IIa}+\Delta v_{IIa}+n_{IIa}+u_{IIa}$

2.2.2 Nachfrage

Wer braucht notwendige Konsumgüter? Nachfrage $N_{IIa}$ hiernach erzeugt

die Produktionsmittelabteilung I für ihren Grundstock an notwendigen Konsumgütern für ihre Arbeitskräfte im Wert von $v_{I}$ , für Akkumulation in Form zusätzlicher notwendiger Konsumgüter für ihre zusätzlichen Arbeitskräfte im Wert von $\Delta v_{I}$ und für notwendigen Kapitalistenkonsum $n_{I}$ ;
die Basiskonsumgüterabteilung IIa für ihren Grundstock an notwendigen Konsumgütern für ihre Arbeitskräfte im Wert von $v_{IIa}$ , für Akkumulation in Form zusätzlicher notwendiger Konsumgüter für ihre zusätzlichen Arbeitskräfte im Wert von $\Delta v_{IIa}$ und für notwendigen Kapitalistenkonsum $n_{IIa}$ ;
die Luxuskonsumgüterabteilung IIb für ihren Grundstock an notwendigen Konsumgütern für ihre Arbeitskräfte im Wert von $v_{IIb}$ , für Akkumulation in Form zusätzlicher notwendiger Konsumgüter für ihre zusätzlichen Arbeitskräfte im Wert von $\Delta v_{IIb}$ und für notwendigen Kapitalistenkonsum $n_{IIb}$ ;

$N_{IIa}=v_{I}+\Delta v_{I}+n_{I}+v_{IIa}+\Delta v_{IIa}+n_{IIa}+v_{IIb}+\Delta v_{IIb}+n_{IIb}$

2.2.3 Gleichgewicht: Angebot = Nachfrage

Im Gleichgewicht der Basiskonsumgüterabteilung IIa entsprechen wieder Angebot und Nachfrage einander:

$A_{IIa}=N_{IIa}\Leftrightarrow$

$\underbrace{c_{IIa}+v_{IIa}+\Delta c_{IIa}+\Delta v_{IIa}+n_{IIa}+u_{IIa}}_A_{IIa}=\underbrace{v_{I}+\Delta v_{I}+n_{I}+v_{IIa}+\Delta v_{IIa}+n_{IIa}+v_{IIb}+\Delta v_{IIb}+n_{IIb}}_N_{IIa}$

Durch Wegstreichung ergibt sich die Reproduktionsgleichung der Basiskonsumgüterabteilung IIa:

$c_{IIa}+\Delta c_{IIa}+u_{IIa}=v_{I}+\Delta v_{I}+n_{I}+v_{IIb}+\Delta v_{IIb}+n_{IIb}$

2.3 Luxuskonsumgüterabteilung IIb

2.3.1 Angebot

Die Luxuskonsumgüterabteilung IIb stellt als Angebot folgende Wertsumme $A_{IIb}$ her:

$A_{IIb}=c_{IIb}+v_{IIb}+m_{IIb}$

Auch in der Luxuskonsumgüterabteilung IIb kann der Mehrwert $m_{IIb}$ verwendet werden

zur Akkumulation in Form zusätzlicher Produktionsmittel im Wert von $\Delta c_{IIb}$ ,
zur Akkumulation in Form zusätzlicher Arbeitskräfte im Wert von $\Delta v_{IIb}$ ,
für notwendigen Kapitalistenkonsum $n_{IIb}$ sowie
für nicht notwendigen Kapitalistenluxuskonsum $u_{IIb}$ .

Es folgt:

$A_{IIb}=c_{IIb}+v_{IIb}+\Delta c_{IIb}+\Delta v_{IIb}+n_{IIb}+u_{IIb}$

2.3.2 Nachfrage

Wer braucht Luxuskonsumgüter? Nachfrage $N_{IIb}$ hiernach erzeugen

die Kapitaleigner der Produktionsmittelabteilung I für Luxuskonsumgüter im Wert von $l_{I}$ ;
die Kapitaleigner der Basiskonsumgüterabteilung IIa für Luxuskonsumgüter im Wert von $l_{IIa}$ ;
die Kapitaleigner der Luxuskonsumgüterabteilung IIb für Luxuskonsumgüter im Wert von $l_{IIb}$ .

$N_{IIb}=u_{I}+u_{IIa}+u_{IIb}$

2.3.3 Gleichgewicht: Angebot = Nachfrage

Im Gleichgewicht der Luxuskonsumgüterabteilung IIb entsprechen auch hier wieder Angebot und Nachfrage einander:

$A_{IIb}=N_{IIb}\Leftrightarrow$

$\underbrace{c_{IIb}+v_{IIb}+\Delta c_{IIb}+\Delta v_{IIb}+n_{IIb}+u_{IIb}}_A_{IIb}=\underbrace{u_{I}+u_{IIa}+u_{IIb}}_N_{IIb}$

Durch Wegstreichung ergibt sich die Reproduktionsgleichung der Luxuskonsumgüterabteilung IIb:

$c_{IIb}+v_{IIb}+\Delta c_{IIb}+\Delta v_{IIb}+n_{IIb}=u_{I}+u_{IIa}$

2.4 Zusammenfassung der allgemeinen Reproduktionsgleichungen

Wir haben drei allgemeine Reproduktionsgleichungen:

$I:v_{I}+\Delta v_{I}+n_{I}+u_{I}=c_{IIa}+\Delta c_{IIa}+c_{IIb}+\Delta c_{IIb}$ (ARG Produktionsmittelabteilung I)

$IIa:c_{IIa}+\Delta c_{IIa}+u_{IIa}=v_{I}+\Delta v_{I}+n_{I}+v_{IIb}+\Delta v_{IIb}+n_{IIb}$ (ARG Basiskonsumgüterabt. IIa)

$IIb:c_{IIb}+v_{IIb}+\Delta c_{IIb}+\Delta v_{IIb}+n_{IIb}=u_{I}+u_{IIa}$ (ARG Luxuskonsumgüterabteilung IIb)

3 Herleitung der allgemeinen Gleichgewichtsbeziehungen

Doch nicht nur das gesamte System muss reproduktiv sein, sondern auch die Beziehungen zwischen allen einzelnen Abteilungen müssen gleichgewichtig aufgehen.

3.1 Produktionsmittelabteilung I zu Basiskonsumgüterabteilung IIa

Die Produktionsmittelabteilung I liefert der Basiskonsumgüterabteilung IIa den Grundstock an Produktionsmitteln im Wert von $c_{IIa}$ und für Akkumulation zusätzliche Produktionsmittel im Wert von $\Delta c_{IIa}$ .

Umgekehrt liefert die Basiskonsumgüterabteilung IIa der Produktionsmittelabteilung I notwendige Konsumgüter für deren Arbeitskräfte im Wert von $v_{I}$ , für deren zusätzliche Arbeitskräfte im Wert von $\Delta v_{I}$ und für deren Kapitalisten im Wert von $n_{I}$ .

$c_{IIa}+\Delta c_{IIa}=v_{I}+\Delta v_{I}+n_{I}$ (GB I zu IIa)

3.2 Produktionsmittelabteilung I zu Luxuskonsumgüterabteilung IIb

Die Produktionsmittelabteilung I liefert der Luxuskonsumgüterabteilung IIb den Grundstock an Produktionsmitteln im Wert von $c_{IIb}$ und für Akkumulation zusätzliche Produktionsmittel im Wert von $\Delta c_{IIb}$ .

Umgekehrt liefert die Luxuskonsumgüterabteilung IIb der Produktionsmittelabteilung I Luxuskonsumgüter für deren Kapitalisten im Wert von $u_{I}$ .

$c_{IIb}+\Delta c_{IIb}=u_{I}$ (GB I zu IIb)

3.3 Basiskonsumgüterabteilung IIa zu Luxuskonsumgüterabteilung IIb

Die Basiskonsumgüterabteilung IIa liefert der Luxuskonsumgüterabteilung IIb notwendige Konsumgüter für deren Arbeitskräfte im Wert von $v_{IIb}$ , für deren zusätzliche Arbeitskräfte im Wert von $\Delta v_{IIb}$ und für deren Kapitalisten im Wert von $n_{IIb}$ .

Umgekehrt liefert die Luxuskonsumgüterabteilung IIb der Basiskonsumgüterabteilung IIa Luxuskonsumgüter für deren Kapitalisten im Wert von $u_{IIa}$ .

$v_{IIb}+\Delta v_{IIb}+n_{IIb}=u_{IIa}$ (GB IIa zu IIb)

3.4 Zusammenfassung der allgemeinen Gleichgewichtsbeziehungen

$c_{IIa}+\Delta c_{IIa}=v_{I}+\Delta v_{I}+n_{I}$ (GB I zu IIa)

$c_{IIb}+\Delta c_{IIb}=u_{I}$ (GB I zu IIb)

$v_{IIb}+\Delta v_{IIb}+n_{IIb}=u_{IIa}$ (GB IIa zu IIb)

3.5 Darstellung der allgemeinen Gleichgewichtsbeziehungen als Matrix

Nachfolgende Tabelle zeigt spaltenweise die Komposition des Angebots einer Abteilung und zeilenweise die Zusammensetzung von deren Nachfrage. Es leuchtet ein, dass gleichgewichtige Beziehungen zwischen allen einzelnen Abteilungen zur Folge haben, dass die drei allgemeinen Reproduktionsgleichungen erfüllt werden.

Abteilung	I	IIa	IIb	Gesamt
I	$c_{I}+\Delta c_{I}$	$c_{IIa}+\Delta c_{IIa}$	$c_{IIb}+\Delta c_{IIb}$	$c_{I}+\Delta c_{I}+$ $c_{IIa}+\Delta c_{IIa}+$ $c_{IIb}+\Delta c_{IIb}$
IIa	$v_{I}+\Delta v_{I}+n_{I}$	$v_{IIa}+\Delta v_{IIa}+n_{IIa}$	$v_{IIb}+\Delta v_{IIba}+n_{IIb}$	$v_{I}+\Delta v_{I}+n_{I}+$ $v_{IIa}+\Delta v_{IIa}+n_{IIa}+$ $v_{IIb}+\Delta v_{IIba}+n_{IIb}$
IIb	$u_{I}$	$u_{IIa}$	$u_{IIb}$	$u_{I}+u_{IIa}+u_{IIb}$
Summe	$c_{I}+\Delta c_{I}+$ $v_{I}+\Delta v_{I}+n_{I}+$ $u_{I}$	$c_{IIa}+\Delta c_{IIa}+$ $v_{IIa}+\Delta v_{IIa}+n_{IIa}+$ $u_{IIa}$	$c_{IIb}+\Delta c_{IIb}+$ $v_{IIb}+\Delta v_{IIb}+n_{IIb}+$ $u_{IIb}$

4 Einfache Reproduktion inklusive Spezifikationen

Im Weiteren werden wir das System einerseits in seiner Komplexität reduzieren, indem auf die einfach Reproduktion ohne Akkumulation abgestellt wird. Andererseits werden wir Spezifikationen vornehmen.

4.1 Allgemeine Reproduktionsgleichungen (ARG)

Wir haben drei allgemeine Reproduktionsgleichungen:

$I:v_{I}+\Delta v_{I}+n_{I}+u_{I}=c_{IIa}+\Delta c_{IIa}+c_{IIb}+\Delta c_{IIb}$ (ARG Produktionsmittelabteilung I)

$IIa:c_{IIa}+\Delta c_{IIa}+u_{IIa}=v_{I}+\Delta v_{I}+n_{I}+v_{IIb}+\Delta v_{IIb}+n_{IIb}$ (ARG Basiskonsumgüterabt. IIa)

$IIb:c_{IIb}+v_{IIb}+\Delta c_{IIb}+\Delta v_{IIb}+n_{IIb}=u_{I}+u_{IIa}$ (ARG Luxuskonsumgüterabteilung IIb)

Ohne Erweiterung der Reproduktion ergibt sich:

$I:v_{I}+n_{I}+u_{I}=c_{IIa}+c_{IIb}$ (ARG Produktionsmittelabteilung I)

$IIa:c_{IIa}+u_{IIa}=v_{I}+n_{I}+v_{IIb}+n_{IIb}$ (ARG Basiskonsumgüterabteilung IIa)

$IIb:c_{IIb}+v_{IIb}+n_{IIb}=u_{I}+u_{IIa}$ (ARG Luxuskonsumgüterabteilung IIb)

4.2 Gleichgewichtige Beziehungen (GB) vor Spezifikation

Wir haben drei gleichgewichtige Beziehungen:

$c_{IIa}+\Delta c_{IIa}=v_{I}+\Delta v_{I}+n_{I}$ (GB I zu IIa)

$c_{IIb}+\Delta c_{IIb}=u_{I}$

$v_{IIb}+\Delta v_{IIb}+n_{IIb}=u_{IIa}$

Wir schreiben nun die gleichgewichtigen Beziehungen für den Fall der einfachen Reproduktion auf, bei der es keine Akkumulation gibt.

$c_{IIa}=v_{I}+n_{I}$ (GB I zu IIa)

$c_{IIb}=u_{I}$ (GB I zu IIab)

$v_{IIb}+n_{IIb}=u_{IIa}$ (GB IIa zu IIb)

Nun kommen Spezifikationen ins Spiel.

4.3 Spezifikationen

Wir gehen erstens von einer gegebenen Mehrwertrate $r=\frac{m}{v}$ aus, also einem konstanten Verhältnis zwischen Mehrwert $m$ und vorgeschossenem Kapital für Löhne $v$ .

Zweitens heißt das vorgeschossene Kapital $k$ und verteile sich in allen Abteilungen zu einem gleichen Anteil $z$ auf konstantes Kapital und zu $1-z$ auf variables Kapital, so dass gilt $c=z\cdot k$ bzw. $v=(1-z)\cdot k$ . Dann gilt für die organische Zusammensetzung $q_{I}=\frac{c_{I}}{v_{I}}=\frac{z\cdot k_{I}}{(1-z)\cdot k_{I}}$ , $q_{IIa}=\frac{c_{IIa}}{v_{IIa}}=\frac{z\cdot k_{IIa}}{(1-z)\cdot k_{IIa}}$ und $q_{IIb}=\frac{c_{IIb}}{v_{IIb}}=\frac{z\cdot k_{IIb}}{(1-z)\cdot k_{IIb}}$ , so dass in allen Abteilungen die organische Zusammensetzung konstant $q_{I}=q_{IIa}=q_{IIb}=\frac{z}{1-z}$ ist.

Drittens teile sich der Konsum der Kapitalisten aus dem Mehrwert in allen Abteilungen gleichermaßen gemäß einer Luxuskonsumquote $l$ auf in notwendigen Konsum in Höhe von $n=l\cdot m$ und in Luxuskonsum in Höhe von $u=(1-l)\cdot m$ .

Mit diesen Spezifikationen lassen sich die drei Gleichungen der gleichgewichtigen Beziehungen wie folgt darstellen:

4.4 Produktionsmittelabteilung I zu Basiskonsumgüterabteilung IIa

$c_{IIa}=v_{I}+n_{I}\Leftrightarrow$

$z\cdot k_{IIa}=(1-z)\cdot k_{I}+(1-l)\cdot m_{I}\Leftrightarrow$

$z\cdot k_{IIa}=(1-z)\cdot k_{I}+(1-l)\cdot v_{I}\cdot r\Leftrightarrow$

$z\cdot k_{IIa}=(1-z)\cdot k_{I}+(1-l)\cdot (1-z)\cdot k_{I}\cdot r\Leftrightarrow$

$z\cdot k_{IIa}=(1-z)\cdot k_{I}\cdot (1+r-r\cdot l)$ (GB I zu IIa)

4.5 Produktionsmittelabteilung I zu Luxuskonsumgüterabteilung IIb

$c_{IIb}=u_{I}\Leftrightarrow$

$z\cdot k_{IIb}=l\cdot m_{I}\Leftrightarrow$

$z\cdot k_{IIb}=l\cdot v_{I}\cdot r\Leftrightarrow$

$z\cdot k_{IIb}=l\cdot (1-z)\cdot k_{I}\cdot r\Leftrightarrow$

$z\cdot k_{IIb}=(1-z)\cdot k_{I}\cdot r\cdot l$ (GB I zu IIb)

4.6 Basiskonsumgüterabteilung IIa zu Luxuskonsumgüterabteilung IIb

$v_{IIb}+n_{IIb}=u_{IIa}\Leftrightarrow$

$(1-z)\cdot k_{IIb}+(1-l)\cdot m_{IIb}=l\cdot m_{IIa}\Leftrightarrow$

$(1-z)\cdot k_{IIb}+(1-l)\cdot v_{IIb}\cdot r=l\cdot v_{IIa}\cdot r\Leftrightarrow$

$(1-z)\cdot k_{IIb}+(1-l)\cdot (1-z)\cdot k_{IIb}\cdot r=l\cdot (1-z)\cdot k_{IIa}\cdot r$ (GB IIa zu IIb)

4.7 Gleichgewichtige Beziehungen (GB) nach Spezifikation

Wir haben drei gleichgewichtige Beziehungen:

$z\cdot k_{IIa}=(1-z)\cdot k_{I}\cdot (1+r-r\cdot l)$ (GB I zu IIa)

$z\cdot k_{IIb}=(1-z)\cdot k_{I}\cdot r\cdot l$ (GB I zu IIb)

$(1-z)\cdot k_{IIb}+(1-l)\cdot (1-z)\cdot k_{IIb}\cdot r=l\cdot (1-z)\cdot k_{IIa}\cdot r$ (GB IIa zu IIb)

4.8 Dokumentarische Zusammenführung der Konsumgüterabteilungen

Wir führen nun zwei Gleichungen zusammen:

$z\cdot k_{IIa}=(1-z)\cdot k_{I}\cdot (1+r-r\cdot l)$

$z\cdot k_{IIb}=(1-z)\cdot k_{I}\cdot r\cdot l\Leftrightarrow$

Es folgt bei Addition:

$z\cdot (k_{IIa}+k_{IIb})=(1-z)\cdot k_{I}\cdot (1+r-r\cdot l+r\cdot l)\Leftrightarrow$

$z\cdot (k_{II})=(1-z)\cdot k_{I}\cdot (1+r)\Leftrightarrow$

$\underbrace{z\cdot (k_{II})}_c_{II}=\underbrace{(1-z)\cdot k_{I}}_v_{I}+\underbrace{(1-z)\cdot k_{I}\cdot r}_m_{I}$ (ARG I zu II)

Dies ist die bekannte Reproduktionsgleichung ohne Aufteilung in zwei Konsumgüterabteilungen, die aus dokumentarischen Gründen gezeigt wird.

Im weiteren soll durch Zusammenführung der Ergebnisse eine Art Produktionsfunktion für alle drei Abteilungen hergeleitet werden.

5 Produktionsfunktionen

5.1 Produktionsmittelabteilung I

Wir greifen auf die bereits vorgestellte Angebotsgleichung zurück:

$A_{I}=c_{I}+v_{I}+\Delta c_{I}+\Delta v_{I}+n_{I}+u_{I}$

Ohne Akkumulation gilt:

$A_{I}=c_{I}+v_{I}+n_{I}+u_{I}$

Mit den eingeführten Spezifikationen gilt:

$A_{I}=\underbrace{z\cdot k_{I}}_c_{I}+\underbrace{(1-z)\cdot k_{I}}_v_{I}+\underbrace{(1-z)\cdot k_{I}\cdot r\cdot (1-l)}_n_{I}+\underbrace{(1-z)\cdot k_{I}\cdot r\cdot l}_u_{I}$

Wir vereinfachen wie folgt:

$A_{I}=z\cdot k_{I}+(1-z)\cdot k_{I}\cdot (1+r)$

Und weiter:

$A_{I}=k_{I}\cdot (1+r-r\cdot z)$

5.2 Basiskonsumgüterabteilung IIa

Wir greifen auch hier auf die bereits vorgestellte Angebotsgleichung zurück:

$A_{IIa}=c_{IIa}+v_{IIa}+\Delta c_{IIa}+\Delta v_{IIa}+n_{IIa}+u_{IIa}$

Ohne Akkumulation gilt:

$A_{IIa}=c_{IIa}+v_{IIa}+n_{IIa}+u_{IIa}$

Mit den eingeführten Spezifikationen gilt:

$A_{IIa}=\underbrace{z\cdot k_{IIa}}_c_{IIa}+\underbrace{(1-z)\cdot k_{IIa}}_v_{IIa}+\underbrace{(1-z)\cdot k_{IIa}\cdot r\cdot (1-l)}_n_{IIa}+\underbrace{(1-z)\cdot k_{IIa}\cdot r\cdot l}_u_{IIa}$

Zur Vereinfachung fassen wir zunächst Basis- und Luxuskonsum zusammen:

$A_{IIa}=\underbrace{z\cdot k_{IIa}}_c_{IIa}+\underbrace{(1-z)\cdot k_{IIa}}_v_{IIa}+\underbrace{(1-z)\cdot k_{IIa}\cdot r}_m_{IIa}$

Um später vereinfachen zu können, wählen wir einen Weg, der zunächst umständlich erscheint:

$A_{IIa}=z\cdot (c_{IIa}+v_{IIa})+(1-z)\cdot (c_{IIa}+v_{IIa})+(1-z)\cdot (c_{IIa}+v_{IIa})\cdot r$

Zur Vereinfachung operieren wir nun mit der organischen Zusammensetzung des Kapitals:

$q_{IIa}=\frac{c_{IIa}}{v_{IIa}}=\frac{z\cdot k_{IIa}}{(1-z)\cdot k_{IIa}}=\frac{z}{1-z}\Leftrightarrow$

$v_{IIa}=c_{IIa}\cdot \frac{1-z}{z}$

Dies setzen wir in die Angebotsgleichung ein:

$\inline \small A_{IIa}=z\cdot (c_{IIa}+c_{IIa}\cdot \frac{1-z}{z})+(1-z)\cdot (c_{IIa}+c_{IIa}\cdot \frac{1-z}{z})+(1-z)\cdot (c_{IIa}+c_{IIa}\cdot \frac{1-z}{z})\cdot r$

Wir fassen zusammen:

$A_{IIa}=z\cdot c_{IIa}\cdot \frac{1}{z}+(1-z)\cdot c_{IIa}\cdot \frac{1}{z}+(1-z)\cdot c_{IIa}\cdot \frac{1}{z}\cdot r\Leftrightarrow$

$A_{IIa}=c_{IIa}+(1-z)\cdot c_{IIa}\cdot \frac{1}{z}+(1-z)\cdot c_{IIa}\cdot \frac{1}{z}\cdot r$

In diese Gleichung setzen wir nun folgende Reproduktionsgleichung für $c_{IIa}$ ein:

$\underbrace{z\cdot k_{IIa}}_c_{IIa}=(1-z)\cdot k_{I}\cdot (1+r-r\cdot l)$ (GB I zu IIa)

Dann folgt:

$\inline \small A_{IIa}=(1-z)\cdot k_{I}\cdot (1+r-r\cdot l)+\frac{(1-z)^{2}\cdot k_{I}\cdot (1+r-r\cdot l)}{z}+\frac{(1-z)^{2}\cdot k_{I}\cdot (1+r-r\cdot l)}{z}\cdot r$

Wir vereinfachen weiter:

$A_{IIa}=(1-z)\cdot k_{I}\cdot (1+r-r\cdot l)+\frac{(1-z)^{2}\cdot k_{I}\cdot (1+r-r\cdot l)}{z}\cdot (1+r)$

5.3 Luxuskonsumgüterabteilung IIb

Wir greifen auch hier auf die bereits vorgestellte Angebotsgleichung zurück:

$A_{IIb}=c_{IIb}+v_{IIb}+\Delta c_{IIb}+\Delta v_{IIb}+n_{IIb}+u_{IIb}$

Ohne Akkumulation gilt:

$A_{IIb}=c_{IIb}+v_{IIb}+n_{IIb}+u_{IIb}$

Mit den eingeführten Spezifikationen gilt:

$A_{IIb}=\underbrace{z\cdot k_{IIb}}_c_{IIb}+\underbrace{(1-z)\cdot k_{IIb}}_v_{IIb}+\underbrace{(1-z)\cdot k_{IIb}\cdot r\cdot (1-l)}_n_{IIb}+\underbrace{(1-z)\cdot k_{IIb}\cdot r\cdot l}_u_{IIb}$

Zur Vereinfachung fassen wir auch hier zunächst Basis- und Luxuskonsum zusammen:

$A_{IIb}=\underbrace{z\cdot k_{IIb}}_c_{IIb}+\underbrace{(1-z)\cdot k_{IIb}}_v_{IIb}+\underbrace{(1-z)\cdot k_{IIb}\cdot r}_m_{IIb}$

Um später vereinfachen zu können, wählen wir erneut den Weg, der zunächst umständlich erscheint:

$A_{IIb}=z\cdot (c_{IIb}+v_{IIb})+(1-z)\cdot (c_{IIb}+v_{IIb})+(1-z)\cdot (c_{IIb}+v_{IIb})\cdot r$

Zur Vereinfachung operieren wir wieder mit der organischen Zusammensetzung des Kapitals:

$q_{IIb}=\frac{c_{IIb}}{v_{IIb}}=\frac{z\cdot k_{IIb}}{(1-z)\cdot k_{IIb}}=\frac{z}{1-z}\Leftrightarrow$

$v_{IIb}=c_{IIb}\cdot \frac{1-z}{z}$

Dies setzen wir wieder in die Angebotsgleichung ein:

$\inline \small A_{IIb}=z\cdot (c_{IIb}+c_{IIb}\cdot \frac{1-z}{z})+(1-z)\cdot (c_{IIb}+c_{IIa}\cdot \frac{1-z}{z})+(1-z)\cdot (c_{IIb}+c_{IIb}\cdot \frac{1-z}{z})\cdot r$

Wir fassen zusammen:

$A_{IIb}=z\cdot c_{IIb}\cdot \frac{1}{z}+(1-z)\cdot c_{IIb}\cdot \frac{1}{z}+(1-z)\cdot c_{IIb}\cdot \frac{1}{z}\cdot r\Leftrightarrow$

$A_{IIb}=c_{IIb}+(1-z)\cdot c_{IIb}\cdot \frac{1}{z}+(1-z)\cdot c_{IIb}\cdot \frac{1}{z}\cdot r$

In diese Gleichung setzen wir nun folgende Reproduktionsgleichung für $c_{IIb}$ ein:

$\underbrace{z\cdot k_{IIb}}_c_{IIb}=(1-z)\cdot k_{I}\cdot r\cdot l$ (GB I zu IIb)

Dann folgt:

$A_{IIb}=(1-z)\cdot k_{I}\cdot r\cdot l+\frac{(1-z)^{2}\cdot k_{I}\cdot r\cdot l}{z}+\frac{(1-z)^{2}\cdot k_{I}\cdot r\cdot l}{z}\cdot r$

Wir vereinfachen weiter:

$A_{IIb}=(1-z)\cdot k_{I}\cdot r\cdot l+\frac{(1-z)^{2}\cdot k_{I}\cdot r\cdot l}{z}\cdot (1+r)$

5.4 Zusammenfassung der Produktionsfunktionen nach Spezifikation

Wir haben drei Produktionsfunktionen:

$I:A_{I}=k_{I}\cdot (1+r-r\cdot z)$ (PF Produktionsmittelabteilung I)

$IIa:A_{IIa}=(1-z)\cdot k_{I}\cdot (1+r-r\cdot l)+\frac{(1-z)^{2}\cdot k_{I}\cdot (1+r-r\cdot l)}{z}\cdot (1+r)$ (PF Basisk.g.abt. IIa)

$IIb:A_{IIb}=(1-z)\cdot k_{I}\cdot r\cdot l+\frac{(1-z)^{2}\cdot k_{I}\cdot r\cdot l}{z}\cdot (1+r)$ (PF Luxuskonsumgüterabteilung IIb)

Das Fazit lautet also: Unter den Bedingungen

reproduktiver Verhältnisse in allen drei Abteilungen sowie gleichgewichtiger Beziehungen zwischen den Abteilungen,
einer uniformen organischen Zusammensetzung des Kapitals $q$ in allen Abteilungen,
einer uniformen Mehrwertrate $r$ in allen Abteilungen

hängt der Wert der Produktion in jeder Abteilung vom vorgeschossenen Kapital in Abteilung I $k_{I}$ , von der Mehrwertrate $r$ , vom Anteil des konstanten Kapitals am gesamten vorgeschossenen Kapital $z$ sowie der Luxuskonsumquote $l$ ab. Dabei gilt:

$\frac{\mathrm{d} A_{I}}{\mathrm{d} l}=0$

$\frac{\mathrm{d} A_{IIa}}{\mathrm{d} l}=-(1-z)\cdot k_{I}\cdot r+\frac{-(1-z)^{2}\cdot k_{I}\cdot r}{z}\cdot (1+r)<0$

$\frac{\mathrm{d} A_{IIb}}{\mathrm{d} l}=(1-z)\cdot k_{I}\cdot r+\frac{(1-z)^{2}\cdot k_{I}\cdot r}{z}\cdot (1+r)>0$

Das heißt: Bei steigender Luxuskonsumquote verändert sich der Wert der Produktion von Abteilung I gar nicht, wohingegen jener der Basiskonsumgüterabteilung IIa sinkt und jener der Luxuskonsumgüterabteilung IIb steigt.

Da $A_{gesamt}=A_{I}+A_{IIa}+A_{IIb}$ ist, gilt: $\frac{\mathrm{d} A_{gesamt}}{\mathrm{d} l}=\frac{\mathrm{d} A_{I}}{\mathrm{d} l}+\frac{\mathrm{d} A_{IIa}}{\mathrm{d} l}+\frac{\mathrm{d} A_{IIb}}{\mathrm{d} l}=0$ .

Die gesamte Produktion verändert sich also nicht bei Veränderungen der Luxuskonsumquote $l$ .

5.5 Weitere Ergebnisse der Matrix

5.5.1 Produktionsmittelabteilung I

$c_{I}=z\cdot k_{I}$

$v_{I}=(1-z)\cdot k_{I}$

$n_{I}=(1-z)\cdot k_{I}\cdot r\cdot (1-l)$

$u_{I}=(1-z)\cdot k_{I}\cdot r\cdot l$

5.5.2 Basiskonsumgüterabteilung IIa

Bekanntlich gilt:

$z\cdot k_{IIa}=(1-z)\cdot k_{I}\cdot (1+r-r\cdot l)$ (GB I zu IIa)

Dann folgt:

$c_{IIa}=(1-z)\cdot k_{I}\cdot (1+r-r\cdot l)$

$v_{IIa}=\frac{(1-z)\cdot k_{I}\cdot (1+r-r\cdot l)}{z}\cdot (1-z)$

$n_{IIa}=\frac{(1-z)\cdot k_{I}\cdot (1+r-r\cdot l)}{z}\cdot (1-z)\cdot r\cdot (1-l)$

$u_{IIa}=\frac{(1-z)\cdot k_{I}\cdot (1+r-r\cdot l)}{z}\cdot (1-z)\cdot r\cdot l$

5.5.3 Luxuskonsumgüterabteilung IIb

Hier gilt wie gezeigt:

$z\cdot k_{IIb}=(1-z)\cdot k_{I}\cdot r\cdot l$ (GB I zu IIb)

Dann folgt:

$c_{IIb}=(1-z)\cdot k_{I}\cdot r\cdot l$

$v_{IIb}=\frac{(1-z)\cdot k_{I}\cdot r\cdot l}{z}\cdot (1-z)$

$n_{IIb}=\frac{(1-z)\cdot k_{I}\cdot r\cdot l}{z}\cdot (1-z)\cdot r\cdot (1-l)$

$u_{IIb}=\frac{(1-z)\cdot k_{I}\cdot r\cdot l}{z}\cdot (1-z)\cdot r\cdot l$

5.5.4 Vorgeschossenes Kapital in der gesamten Konsumgüterabteilung

$k_{II}=k_{IIa}+k_{IIb}=\frac{c_{IIa}}{z}+\frac{c_{IIB}}{z}\Leftrightarrow$

$k_{II}=\frac{(1-z)\cdot k_{I}\cdot (1+r-r\cdot l)}{z}+\frac{(1-z)\cdot k_{I}\cdot r\cdot l}{z}\Leftrightarrow$

$k_{II}=\frac{(1-z)\cdot k_{I}\cdot (1+r)}{z}$

5.6 Darstellung der allgemeinen Gleichgewichtsbeziehungen als Matrix mit konkreten Werten laut Marx

Zur Verdeutlichung führen wir einerseits das Marxsche Beispiel einer einfachen Reproduktion an, bei der es keine Akkumulation gibt und bei dem mit konkreten Zahlen gearbeitet wird (Marx, Karl: Das Kapital, Band II, in: MEW 24, S. 405 ff.). Mit $k_{I}=5.000$ , $z=0,8=80%$ , $r=1,0=100%$ und $l=0,4=40%$ folgt:

Abteilung	I	IIa	IIb	Gesamt
I	$c_{I}=4.000$	$c_{IIa}=1.600$	$c_{IIb}=400$	$c_{I}+c_{IIa}+c_{IIb}=6.000$
IIa	$v_{I}+n_{I}=1.000+600$	$v_{IIa}+n_{IIa}=400+240$	$v_{IIb}+n_{IIb}=100+60$	$v_{I}+n_{I}+v_{IIa}+n_{IIa}+$ $v_{IIb}+n_{IIb}=2.400$
IIb	$u_{I}=400$	$u_{IIa}=160$	$u_{IIb}=40$	$u_{I}+u_{IIa}+u_{IIb}=600$
Summe	$c_{I}+v_{I}+n_{I}+u_{I}=6.000$	$c_{IIa}+v_{IIa}+$ $n_{IIa}+u_{IIa}=2.400$	$c_{IIb}+v_{IIb}+$ $n_{IIb}+u_{IIb}=600$	$9.000$